这个问题实际上是经典的斐波那契数列问题。兔子的繁殖模式遵循的规律与斐波那契数列一致：
- 第 (n) 个月兔子的总数等于前两个月兔子总数的和。
- 初始条件是：
- 第 1 个月只有 1 对兔子。
- 第 2 个月有 2 对兔子。
我们可以用递归、动态规划或简单迭代的方法来求解第 (A) 个月的兔子总对数。
实现代码
以下是基于迭代方法的解决方案：
def solution(A: int) -> int:
if A == 1:
return 1
if A == 2:
return 2
# 用两个变量存储前两个数
prev1, prev2 = 1, 2
# 迭代计算第 A 个月的兔子对数
for _ in range(3, A + 1):
current = prev1 + prev2
prev1 = prev2
prev2 = current
return prev2
if __name__ == "__main__":
# 测试用例
print(solution(1) == 1) # 第 1 个月有 1 对兔子
print(solution(5) == 8) # 第 5 个月有 8 对兔子
print(solution(15) == 987) # 第 15 个月有 987 对兔子
解释
-
初始情况：
- 当 (A = 1)，返回 1。
- 当 (A = 2)，返回 2。
-
迭代计算：
- 从第 3 个月开始，每个月的兔子对数为前两个月兔子对数的和。
- 使用
prev1和prev2保存前两个月的兔子对数，逐步更新到目标月份。
-
时间复杂度：
- 时间复杂度为 (O(A))，只需一次线性遍历。
- 空间复杂度为 (O(1))，仅使用了常量级变量存储前两个月的兔子对数。
测试结果
运行上面的代码，所有测试用例均应通过。
优化
对于更大的 (A)，如果想进一步优化，可以考虑矩阵快速幂法计算斐波那契数列，以将时间复杂度降为 (O(\log A))。不过，迭代法对一般输入已经足够高效。
启示
兔群繁殖问题启示我们，自然现象往往隐藏着简单而优美的数学规律，通过抽象建模可以揭示其本质，并利用算法优化使复杂问题高效求解。它展示了递推关系在描述动态系统中的核心作用，也说明了数学工具（如矩阵快速幂）与算法结合的威力，同时提醒我们在解决问题时，既要关注简化模型的基本规律，又要具备引入复杂约束条件的能力，从而不断创新与拓展问题的解决方法。 如果做不出来，可以通过补充基础知识，强化动态规划、递归和数学建模的理解，多练习类似经典题目以熟悉递推关系的建立和算法优化的思路，同时学会将复杂问题拆解为更小的部分逐步解决。结合手动模拟推导验证自己的想法，必要时参考题解深入理解优秀实现的核心逻辑，不断练习常用算法模板，培养数学推导能力和算法思维，从而逐步提高解决问题的能力和效率。
