优秀项目组评比问题的解题思路详解
问题背景
公司在初选优秀项目组的过程中，需要依据得分设置一个晋级分数线 ( x )。得分高于 ( x ) 的项目组晋级，得分低于或等于 ( x ) 的项目组淘汰。然而，为了保证评选的公平性和合理性，评委会规定了两个条件：
- 晋级的项目组数量必须在区间 ([m, n]) 之间。
- 淘汰的项目组数量也必须在区间 ([m, n]) 之间。
如果不存在满足条件的分数线 ( x )，结果为 (-1)。如果有多个符合条件的分数线，则选择最小的分数线作为最终结果。
示例分析
示例 1
输入数据：
- ( m = 2 )
- ( n = 3 )
- 项目组得分列表 ( a = [1, 2, 3, 5, 6, 4] )
通过观察可以得知：
- 排序后得分为 ( [1, 2, 3, 4, 5, 6] )。
- 如果分数线 ( x = 3 )，得分高于 3 的项目组有 ( 4, 5, 6 )，数量为 3，符合晋级条件。
- 而得分小于或等于 3 的项目组有 ( 1, 2, 3 )，数量也为 3，符合淘汰条件。
因此，输出为 ( 3 )。
示例 2
输入数据：
- ( m = 1 )
- ( n = 2 )
- 项目组得分列表 ( a = [7, 8, 9, 3, 5] )
经过分析可知：
- 排序后得分为 ( [3, 5, 7, 8, 9] )。
- 任何分数线下，晋级和淘汰的数量都无法同时满足 ([m, n]) 区间的要求。
因此，输出为 (-1)。
示例 3
输入数据：
- ( m = 1 )
- ( n = 4 )
- 项目组得分列表 ( a = [7, 8, 9, 3, 5] )
通过分析可以得知：
- 排序后得分为 ( [3, 5, 7, 8, 9] )。
- 如果分数线 ( x = 3 )，得分高于 3 的项目组有 ( 5, 7, 8, 9 )，数量为 4，符合晋级条件。
- 而得分小于或等于 3 的项目组有 ( 3 )，数量为 1，符合淘汰条件。
因此，输出为 ( 3 )。
解题思路
这道题的核心是找到满足两个区间约束条件的分数线 ( x )。为了达到这一目标，可以采取以下步骤：
1. 分析问题本质
- 分数线的作用：分数线 ( x ) 将得分分为两部分：
- 晋级的项目组：得分大于 ( x )。
- 淘汰的项目组：得分小于或等于 ( x )。
- 条件约束：晋级和淘汰的项目组数量必须同时在 ([m, n]) 区间。
2. 数据排序与遍历
为了方便按分数线划分得分区间，可以将得分数组 ( a ) 排序。从小到大遍历得分值作为分数线 ( x )，逐一计算晋级和淘汰的数量。
3. 使用累加优化
遍历过程中，可以维护一个累加器，用于记录当前累计的项目组数量。这能够避免重复计算，提高效率。
4. 符合条件时立即返回
- 如果找到一个分数线 ( x ) 满足条件，则立即返回。
- 如果遍历结束后仍未找到满足条件的分数线，则返回 (-1)。
算法设计与实现
算法分为以下几步：
- 统计得分分布：将输入得分 ( a ) 转换为计数形式，以便快速计算不同分数线下的项目组数量。
- 排序与遍历：对得分排序后，从小到大遍历每个可能的分数线。
- 动态累加：使用累加器计算当前分数线下晋级和淘汰的项目组数量。
- 条件判断：对于每个分数线 ( x )，检查其是否同时满足晋级和淘汰条件。
- 输出结果：如果找到满足条件的分数线，返回最小的 ( x )；否则返回 (-1)。
代码实现
以下是完整的 Python 实现：
from typing import List
from collections import Counter
def find_score_line(m: int, n: int, a: List[int]) -> int:
# 统计每个分数的数量
count = Counter(a)
total = len(a) # 项目组总数
current_count = 0 # 当前累计项目组数量
# 按得分从小到大排序
for score in sorted(count.keys()):
# 更新累计数量
current_count += count[score]
# 计算晋级和淘汰的数量
promoted = total - current_count # 晋级
eliminated = current_count # 淘汰
# 检查条件
if m <= promoted <= n and m <= eliminated <= n:
return score # 返回满足条件的最小分数线
# 如果没有满足条件的分数线
return -1
时间复杂度分析
- 排序：对分数列表排序的时间复杂度为 ( O(k \log k) )，其中 ( k ) 是得分种类的数量。
- 遍历：遍历所有可能的分数线，时间复杂度为 ( O(k) )。
- 总复杂度：总体时间复杂度为 ( O(k \log k) )。
解题总结
- 核心思路：通过排序和累加的方式，将分数线划分为晋级和淘汰两部分，分别检查数量条件是否满足。
- 算法优势：利用排序和累加优化，避免重复计算，效率较高。
- 适用范围：该方法适用于小范围的得分种类，但如果得分值过于分散，可进一步优化统计过程。
