徒步旅行中的补给问题题目描述小R计划一次从地点 A 到地点 B 的徒步旅行，总路程需要 ( N ) 天。为了在路途中保

题目描述

小R计划一次从地点 A 到地点 B 的徒步旅行，总路程需要 ( N ) 天。为了在路途中保持充足的能量，小R每天必须消耗 1 份食物。幸运的是，小R每天会经过一个补给站，可以购买食物进行补充。然而：

每个补给站的食物价格不同。
小R最多只能同时携带 ( K ) 份食物。

目标是计算完成这次旅程所需的最低花费。

问题分析

核心约束：
- 每天必须消耗 1 份食物，不能出现断粮的情况。
- 小R最多只能携带 ( K ) 份食物，因此需要规划补充食物的时间和数量，以尽量利用低价的补给站。
优化目标：
- 在保证每天有食物的前提下，使得总花费最小。

解题思路

我们需要维护一个滑动窗口，表示未来 ( K ) 天内小R可以选择的补给站价格范围。每次在窗口中选择最低价格的补给站进行补充，确保最低花费。

滑动窗口的操作

窗口更新：
每天移动窗口，移入当前天的价格，移出超过窗口范围的价格。
最小值查询：
每天从窗口中选择价格最低的补给站进行购买。

`Deque` 的作用

Deque 是 Java 中的双端队列，支持高效的头尾操作，特别适合动态维护窗口中的最小值：

保持队列中的元素单调递增（队头为最小值）。
移入新元素时，移除队列尾部所有比当前价格高的元素，保证队列单调性。
窗口超出范围时，从队头移除过期元素。

算法步骤

初始化一个双端队列 Deque，用于存储窗口中的有效价格索引。
遍历每一天的价格：
- 移除队头过期的元素（超出窗口范围）。
- 移除队尾所有大于当前价格的元素，保持队列单调性。
- 将当前价格的索引加入队尾。
- 取队头对应的价格作为当天的购买价格，并累加到总花费中。
最终输出总花费。

Java 实现

import java.util.Deque;
import java.util.LinkedList;

public class MinCostToTravel {

    public static int solution(int n, int k, int[] data) {
        int minMoney = 0;  // 总花费
        Deque<Integer> deque = new LinkedList<>();  // 单调队列，用于维护窗口中的最小值索引

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 移除队头过期元素（超出窗口范围）
            if (!deque.isEmpty() && deque.peekFirst() < i - k + 1) {
                deque.pollFirst();
            }

            // 移除队尾所有比当前价格大的元素，保持单调递增
            while (!deque.isEmpty() && data[deque.peekLast()] > data[i]) {
                deque.pollLast();
            }

            // 将当前价格索引加入队尾
            deque.offerLast(i);

            // 累加当天的最低价格（队头对应的价格）
            minMoney += data[deque.peekFirst()];
        }

        return minMoney;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 测试样例
        System.out.println(solution(5, 2, new int[]{1, 2, 3, 3, 2}));  // 输出：9
        System.out.println(solution(6, 3, new int[]{4, 1, 5, 2, 1, 3}));  // 输出：9
        System.out.println(solution(4, 1, new int[]{3, 2, 4, 1}));  // 输出：10
    }
}

代码逻辑详解

维护窗口的最小值：
- 单调队列通过移除不必要的元素，始终保持队头为窗口内的最小值对应索引。
滑动窗口操作：
- 每天根据队列中最小值索引的价格购买食物。
- 窗口移动时，移入当前天的价格，移出超出范围的价格。
复杂度分析：
- 时间复杂度：每个元素最多被加入和移除队列一次，复杂度为 ( O(N) )。
- 空间复杂度：队列中最多存储 ( K ) 个元素，复杂度为 ( O(K) )。

样例验证

样例 1：

输入：
n = 5, k = 2, data = [1, 2, 3, 3, 2]
过程：

第 1 天：窗口 [1]，最低价格为 1，花费 1。
第 2 天：窗口 [1, 2]，最低价格为 1，花费 1。
第 3 天：窗口 [2, 3]，最低价格为 2，花费 2。
第 4 天：窗口 [3, 3]，最低价格为 3，花费 3。
第 5 天：窗口 [3, 2]，最低价格为 2，花费 2。
总花费：1 + 1 + 2 + 3 + 2 = 9。

输出：9

样例 2：

输入：
n = 6, k = 3, data = [4, 1, 5, 2, 1, 3]
输出：9

Deque 的优缺点总结

优点

高效地动态维护窗口内的最小值，所有操作均摊 ( O(1) )。
代码逻辑更语义化，操作如 pollFirst, offerLast 明确表示滑动窗口的移动。

缺点

对于初学者，理解单调队列的维护规则可能有一定门槛。
适用于需要动态调整窗口内容的场景，对于固定窗口简单问题，可能略显复杂。

适用场景

Deque 更适合的场景：
- 动态调整窗口，或需要频繁查询窗口最值的场景（如最大值/最小值滑动窗口问题）。
数组更适合的场景：
- 滑动窗口固定，且只需要简单的遍历操作。

在本题中，由于需要频繁查询窗口的最小值，Deque 的使用是最优解。

徒步旅行中的补给问题