题目解析英雄升级与奖励最大化｜豆包MarsCode AI 刷题本题是一个动态规划问题，需要解决两个问题：计算每个英

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题目分析

在本题中，我们需要解决两个问题：

第一个是计算每个英雄达到 $b[i]$ 能力值时的最少升级次数。
第二个是计算最多进行 $k$ 次升级操作后，能获得的最大奖励总和。

解题思路

对于第一个问题，每次升级的方式为 $a[i]=a[i]+⌊a[i]/x⌋$ ，x取值范围为 $[1,a[i]]$ 。我们可以使用广度优先搜索，计算到每一个能力值的最少升级次数。在计算 $⌊a[i]/x⌋$ 时，我们可以直接枚举 $x$ ，但此时时间复杂度为 $O(n)$ ，可能会超时。可以使用数论分块的方式计算。

数论分块：我们假设 $a[i]$ 为 15，那么 $⌊a[i]/x⌋$ 的取值有哪些呢？可以列举出来:

15 / 1 = 15
15 / 2 = 7
15 / 3 = 5
15 / 4 = 4
15 / 5 = 3
15 / 6 = 2
15 / 7 = 2
15 / 8 = 1
15 / 9 = 1
15 / 10 = 1
15 / 11 = 1
15 / 12 = 1
15 / 13 = 1
15 / 14 = 1
15 / 15 = 1

可以发现有大量重复的值，除去重复的值最多有 $\sqrt{n}$ 个。计算这些重复的值，可以通过以下代码实现：

l, r = 1, n
while l <= x:
    d = x // l
    r = x // d
    # 此时表示区间 [l,r] 所有的数除 n 的结果为 d
    l = r + 1

对于第二个问题，这符合动态规划的01背包模型，即：有 n 个物品，每个物品的重量为 $w[i]$ ，价值为 $v[i]$ ，现有一个容量为 $W$ 的背包，从选择若干个，在总重量不超过 $W$ 的情况下最大化总价值。

动态规划转移方程如下：

f[i][j]=\max\begin{cases} f[i-1][j] \\ f[i-1][j-w[i]]+v[i]\ \text{if}\ j >= w[i] \\ \end{cases}

可以使用滚动数组的方式优化空间复杂度，注意此时要倒着枚举 $j$ 来转移状态：

f[j]=\max\begin{cases} f[j] \\ f[j-w[i]]+v[i]\ \text{if}\ j >= w[i] \\ \end{cases}

在本问题中，升级次数为重量，奖励为价值。

具体代码实现

以下是 python 的代码实现：

from collections import deque

N = int(1e5)
w = [1e9] * N


def bfs():
    """
    使用广度优先搜索（BFS）算法来更新从起点到每个节点的最短距离。
    该函数没有返回值，但会修改全局数组w，以存储从起点到每个节点的最短距离。
    """
    # 初始化队列q，用于存储待处理的节点及其对应的步数
    q = deque()
    # 设置起点的步数为0
    w[1] = 0
    # 将起点及其步数加入队列
    q.append((1, 0))
    # 当队列不为空时，循环处理队列中的元素
    while q:
        # 从队列中取出一个节点及其步数
        x, y = q.popleft()
        # 初始化l和r，用于计算x的除数范围
        l, r = 1, 1
        # 遍历x的所有除数
        while l <= x:
            # 计算x除以l的商
            d = x // l
            # 计算x除以商的值，以确定除数的范围
            r = x // d
            # 如果x加上商小于N，并且当前步数加1小于已记录的到达x+d的最小步数
            if x + d < N and w[x + d] > y + 1:
                # 更新到达x+d的最小步数
                w[x + d] = y + 1
                # 将x+d及其步数加入队列
                q.append((x + d, y + 1)) 
            # 更新l为下一个除数范围的起始值
            l = r + 1

def solution(n, k, b, c):
    """
    参数:
    n -- 物品的数量
    k -- 背包的容量
    b -- 物品的重量列表
    c -- 物品的价值列表
    
    返回:
    返回背包能装下的最大价值。
    """
    # 初始化动态规划数组，长度为背包容量加一
    f = [0] * (k + 1)
    
    # 更新物品重量列表
    for i in range(n):
        b[i] = w[b[i]]
    
    # 使用动态规划填充背包，计算每个容量下的最大价值
    for i in range(n):
        for j in range(k, b[i] - 1, -1):
            # 对于每个物品，选择放入或不放入背包，取价值较大的情况更新动态规划数组
            f[j] = max(f[j], f[j - b[i]] + c[i])
    
    # 返回背包最大容量下的最大价值
    return f[k]

if __name__ == "__main__":
    # Add your test cases here
    print(solution(4, 4, [1, 7, 5, 2], [2, 6, 5, 2]) == 9)
    print(solution(3, 0, [3, 5, 2], [5, 4, 7]) == 0)

关键步骤和细节

首先，我们计算每个英雄达到 $b[i]$ 能力值时的最少升级次数。
使用广度优先搜索，计算到每一个能力值的最少升级次数。
使用数论分块的方式计算 $⌊a[i]/x⌋$ 的取值。
动态规划求解背包问题，计算每个容量下的最大价值。
返回背包最大容量下的最大价值。

复杂度分析

广度优先搜索的时间复杂度为 $O(n)$ ，其中 $n$ 是升级的次数。
对于每个物品，使用数论分块计算 $⌊a[i]/x⌋$ 的取值，时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$ , 其中 $n$ 是 $a[i]$ 。
对于动态规划求解背包问题，时间复杂度为 $O(nk)$ ，其中 $n$ 是物品的数量， $k$ 是背包的容量。
动态规划需要 $O(k)$ 的空间来存储每个容量下的最大价值。

总结

本题的关键是理解问题的要求和限制，以及动态规划的求解过程。首先，我们需要计算每个英雄达到 $b[i]$ 能力值时的最少升级次数，可以使用广度优先搜索来实现，其中结合数论分块来优化转移次数。最后，我们需要使用动态规划求解背包问题，计算每个容量下的最大价值。

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