伴学笔记|青训营X豆包MarsCode 技术训练营

题目选择：### 问题描述

生物学家小 R 正在研究一种特殊的兔子品种的繁殖模式。这种兔子的繁殖遵循以下规律：

1. 每对成年兔子每个月会生育一对新的小兔子（一雌一雄）。
2. 新生的小兔子需要一个月成长，到第二个月才能开始繁殖。
3. 兔子永远不会死亡。

小 R 从一对新生的小兔子开始观察。他想知道在第 A 个月末，总共会有多少对兔子。

请你帮助小 R 编写一个程序，计算在给定的月份 A 时，兔子群体的总对数。

注意：

• 初始时有 1 对新生小兔子。
• 第 1 个月末有 1 对兔子：原来那对变成了成年兔子，并开始繁殖。
• 第 2 个月末有 2 对兔子：原来那 1 对成年兔子，繁殖了 1 对新生的小兔子。
• 从第 3 个月开始，兔子群体会按照上述规律增长。

输入

一个整数 A（1 ≤ A ≤ 50），表示月份数。

返回

一个长整数，表示第 A 个月末兔子的总对数。

测试样例

样例1：

输入：A = 1
返回：1

样例2：

输入：A = 5
返回：8

样例3：

输入：A = 15
返回：987

分析：

1. 这是一个经典的斐波那契数列问题。 - 设第$n$个月的兔子对数为$f(n)$。 - 初始条件：$f(1)=1$（一对新生小兔子），$f(2)=2$（一对成年兔子和一对新生小兔子）。 - 从第 3 个月开始，$f(n)=f(n - 1)+f(n - 2)$，因为第$n$个月的兔子对数等于第$n - 1$个月的兔子对数（原来的兔子都还在）加上第$n - 2$个月的成年兔子对数（因为新生兔子要到第二个月才成年繁殖）。
2. 选择算法： - 可以使用迭代法计算斐波那契数列。
3. 代码实现（以 Python 为例）： python def count_rabbits(A): if A == 1: return 1 elif A == 2: return 2 else: a, b = 1, 2 for _ in range(3, A + 1): a, b = b, a + b return b
4. 算法步骤解释： - 首先处理特殊情况，当$A = 1$时直接返回 1，当$A = 2$时返回 2。 - 对于$A\gt2$的情况，使用迭代计算斐波那契数列。初始化a为第 1 个月的兔子对数 1，b为第 2 个月的兔子对数 2。然后从第 3 个月开始循环，每次更新a为原来的b，b为a + b（即当前月的兔子对数等于前两个月兔子对数之和）。循环结束后，b就是第A个月的兔子对数，返回b。
5. 测试样例验证： - 对于样例 1，输入A = 1，函数返回 1，符合预期。 - 对于样例 2，输入A = 5，按照斐波那契数列计算：$f(3)=f(2)+f(1)=2 + 1 = 3$，$f(4)=f(3)+f(2)=3 + 2 = 5$，$f(5)=f(4)+f(3)=5 + 3 = 8$，函数返回 8，符合预期。 - 对于样例 3，输入A = 15，通过迭代计算得到的结果为 987，符合预期。 这种方法的时间复杂度为$O(A)$，因为只需要循环A - 2次来计算斐波那契数列。空间复杂度为$O(1)$，因为只使用了两个变量a和b来保存中间结果。 题目的总结感悟： ### 一、题目特点
6. 经典模型呈现：这道题本质上呈现了经典的斐波那契数列模型，虽然以兔子繁殖的实际情境作为背景，但核心规律与斐波那契数列紧密相关。通过将实际问题转化为数学模型，让我们看到了许多看似复杂的现实场景背后可能隐藏着简洁而有规律的数学逻辑
7. 。 2. 规律隐藏性：初看题目时，兔子繁殖的各种条件描述可能会让人觉得有些复杂，需要仔细梳理才能发现其背后简洁的递推规律。这提醒我们在面对实际问题时，要善于透过现象看本质，挖掘出隐藏在复杂情境中的核心数学关系。
8. 3. 边界条件明确：题目清晰地给出了初始条件，即从一对新生小兔子开始观察，以及前两个月兔子对数的具体情况。这些明确的边界条件为后续推导和计算奠定了基础，也让我们明白在解决类似问题时，准确把握起始状态和初期特殊情况是非常重要的。

二、解题思路感悟

1. 数学建模的重要性：能够将兔子繁殖的实际情况抽象为数学上的数列关系，是解决本题的关键。这让我深刻体会到数学建模在解决实际问题中的强大作用，它能将具体的、杂乱的现实问题转化为可量化、有规律可循的数学问题，从而利用已有的数学知识和方法进行求解。
2. 2. 递推思维的运用：本题通过分析每个月兔子数量与前几个月兔子数量的关系，建立了递推公式。这种递推思维在很多数学和编程问题中都非常有用，它让我们可以从已知的初始状态逐步推导出后续的结果，而不需要一次性计算出所有可能的情况。在面对具有动态变化且前后状态存在关联的问题时，递推思维可以帮助我们高效地找到解决方案。
3. 3. 特殊情况处理：在解题过程中，首先对前两个月的特殊情况进行单独处理，然后再通过通用的递推公式计算后续月份的兔子对数。这表明在解决问题时，不能忽视特殊情况，要先确保这些特殊情况得到正确处理，才能顺利进行后续的一般性计算。

三、对编程实现的思考

1. 代码简洁性与效率平衡：在以Python为例的代码实现中，我们可以看到通过简单的迭代和变量更新就能实现斐波那契数列的计算，代码相对简洁。同时，这种实现方式在时间复杂度和空间复杂度上也有较好的表现（时间复杂度为$O(A)$，空间复杂度为$O(1)$）。这让我认识到在编程过程中，要尽量在保证代码能够正确实现功能的前提下，追求代码的简洁性和运行效率的平衡，避免不必要的复杂逻辑和资源浪费。
2. 利用已有知识快速实现：由于斐波那契数列是一个常见的数学概念，在编程中也有很多成熟的实现方法。借助这些已有的知识和经验，我们可以快速地将问题转化为代码并得到正确的结果。这提示我们在平时的学习中要积累丰富的知识和编程技巧，以便在遇到类似问题时能够迅速做出反应并解决问题。 总的来说，这道题目不仅让我对斐波那契数列有了更深入的理解和运用，更重要的是让我体会到了如何从实际问题中抽象出数学模型、运用递推思维以及在编程实现中追求简洁与高效的重要性。