套碗游戏的取碗游戏（二）

问题描述

小F正在玩一个套碗的游戏，每个碗都有一个编号，从1到n，它们从大到小被套在一根木棍上。小F只能从木棍上取最上面的碗，每次只能取一个。现在你需要计算总共有多少种取碗的顺序。

例如，对于2个碗，取碗的顺序可以是 2 1 或 1 2，这两种顺序都是合法的。而对于3个碗，给定顺序 3 1 2 不可能通过合法操作实现，因此该顺序不可行。

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测试样例

样例1：

输入：M = 2
输出：2

样例2：

输入：M = 3
输出：5

样例3：

输入：M = 4
输出：14

问题理解

你有一个从大到小排列的碗堆，编号从1到n。每次只能取最上面的碗。你需要计算出所有可能的取碗顺序的数量。

数据结构选择

这个问题可以通过动态规划来解决。我们可以定义一个状态 dp[i] 表示有 i 个碗时的所有可能取碗顺序的数量。

算法步骤

1. 初始化：

   • dp[0] = 1，表示没有碗时只有一种取法，即什么都不做。
   • dp[1] = 1，表示只有一个碗时只有一种取法。

2. 状态转移：

   • 对于 i 个碗，我们可以从 i-1 个碗的状态推导出来。
   • 每次取碗时，我们可以选择取最上面的碗，然后剩下的碗的顺序数量就是 dp[i-1]。
   • 由于每次取碗的顺序不同，我们需要累加所有可能的取法。

3. 计算：

   • 使用一个循环从 2 到 M 计算 dp[i]。

理解动态规划状态转移

在这个问题中，dp[i] 表示有 i 个碗时的所有可能取碗顺序的数量。我们需要通过递推关系来计算 dp[i]。

递推关系

假设我们现在有 i 个碗，编号从 1 到 i，并且它们从大到小排列在木棍上。我们需要计算所有可能的取碗顺序。

1. 选择最上面的碗：

   • 每次取碗时，我们可以选择最上面的碗。假设我们取了编号为 k 的碗（1 <= k <= i）。

2. 剩余碗的排列：

   • 取了编号为 k 的碗后，剩下的碗的编号是 1 到 k-1 和 k+1 到 i。

   • 这些剩余的碗可以看作两个独立的子问题：

     • 编号为 1 到 k-1 的碗，有 k-1 个碗。
     • 编号为 k+1 到 i 的碗，有 i-k 个碗。

3. 组合子问题的解：

   • 对于每个 k，我们需要将这两个子问题的解组合起来。
   • 具体来说，dp[k-1] 表示 k-1 个碗的所有可能取法，dp[i-k] 表示 i-k 个碗的所有可能取法。
   • 因此，取了编号为 k 的碗后，所有可能的取法数量是 dp[k-1] * dp[i-k]。

4. 累加所有可能的取法：

   • 对于每个 k，我们需要累加所有可能的取法数量。
   • 这就是 dp[i] += dp[j] * dp[i - 1 - j]; 的含义。

具体解释

• dp[j] 表示 j 个碗的所有可能取法。
• dp[i - 1 - j] 表示 i-1-j 个碗的所有可能取法。
• dp[i] += dp[j] * dp[i - 1 - j]; 表示对于每个 j，我们将 j 个碗和 i-1-j 个碗的所有可能取法组合起来，累加到 dp[i] 中。

public class Main {
    public static long solution(int n) {
        long[] dp = new long[n + 1];
        dp[0] = 1; // 没有碗时只有一种取法
        dp[1] = 1; // 只有一个碗时只有一种取法

        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                dp[i] += dp[j] * dp[i - 1 - j]; // 累加所有可能的取法
            }
        }

        return dp[n];
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(solution(2) == 2);
        System.out.println(solution(3) == 5);
        System.out.println(solution(4) == 14);
    }
}