有限的楼梯攀登| 豆包MarsCode AI刷题

有限制的楼梯攀登

题目背景

小U爬楼梯的问题是经典的动态规划问题的一种变体。常规的楼梯问题通常是可以选择走一步或者两步，但这里加入了限制条件：不能连续两次走两步。这为问题增加了一定的复杂性。

核心问题

1. 在有该限制的条件下，如何构造有效的递推关系？
2. 如何通过动态规划的方式计算不同的走法？

解决思路

本题主要分为以下几步：

1. 确定状态变量：

   • 用动态规划方法来解决问题。
   • 定义两个数组：
     • dp0[i]：表示从第 0 层到第 (i) 层，最后一步是走 1 步的走法数量。
     • dp1[i]：表示从第 0 层到第 (i) 层，最后一步是走 2 步的走法数量。

2. 递推关系：

   • 如果当前层是通过 走 1 步 到达，那么上一层可以是走 1 步或者走 2 步：
     $$dp0[i] = dp0[i-1] + dp1[i-1]$$
   • 如果当前层是通过 走 2 步 到达，那么再往前只能是走 1 步：
     $$dp1[i] = dp0[i-2]$$

3. 边界条件：

   • 初始情况下：
     • (dp0[0] = 1)：表示站在第 0 层时，有一种方法（即什么也不做）。
     • (dp1[0] = 0)：因为在第 0 层不能通过走两步直接到达。

4. 最终解：

   • 总的方法数是最后一步为 1 步或 2 步的方案之和：
     $$\text{result} = dp0[n] + dp1[n]$$

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代码解析

以下是代码的逐步解析：

package main

import "fmt"

func solution(n int) int {
    // 如果楼梯为0级，直接返回1种方法
    if n == 0 {
        return 1
    }

    // 创建两个动态规划数组
    dp0 := make([]int, n+1) // dp0[i]存储到达第i级楼梯，最后一步走1步的方法数
    dp1 := make([]int, n+1) // dp1[i]存储到达第i级楼梯，最后一步走2步的方法数

    // 初始条件
    dp0[0] = 1 // 第0级楼梯，最后一步是走1步的情况
    dp1[0] = 0 // 第0级楼梯，没有走2步的情况

    // 如果楼梯至少有1级
    if n >= 1 {
        dp0[1] = 1 // 第1级楼梯，只能通过走1步到达
        dp1[1] = 0 // 第1级楼梯，不能通过走2步到达
    }

    // 动态规划递推公式
    for i := 2; i <= n; i++ {
        // 最后一步是走1步
        dp0[i] = dp0[i-1] + dp1[i-1]

        // 最后一步是走2步
        dp1[i] = dp0[i-2]
    }

    // 返回两种方式的总和
    return dp0[n] + dp1[n]
}

func main() {
    // 测试样例
    fmt.Println(solution(2) == 2) // 输出: true
    fmt.Println(solution(3) == 3) // 输出: true
    fmt.Println(solution(4) == 4) // 输出: true
    fmt.Println(solution(5) == 6) // 输出: true
    fmt.Println(solution(0) == 1) // 输出: true
    fmt.Println(solution(1) == 1) // 输出: true
}

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代码细节解析

初始化

• dp0[0] 和 dp1[0] 初始化

  • (dp0[0] = 1)，因为从 0 层到 0 层什么也不做是一种有效方案。
  • (dp1[0] = 0)，因为从 0 层到 0 层不能跨两步。

• 对于第一层

  • (dp0[1] = 1)，第一层只能通过走 1 步到达。
  • (dp1[1] = 0)，第一层无法通过走两步到达。

递推公式

• (dp0[i] = dp0[i-1] + dp1[i-1])

  • 当前层最后一步走 1 步到达，那么上一层的状态可以是走 1 步（dp0[i-1]）或者走 2 步（dp1[i-1]）。

• (dp1[i] = dp0[i-2])

  • 当前层最后一步走 2 步到达，那么只能是从 (i-2) 层通过走 1 步过来。

返回结果

• 最终的结果是 (dp0[n] + dp1[n])，即所有从底部到顶端的不同走法。

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复杂度分析

1. 时间复杂度：
   • 动态规划遍历一遍楼梯，总体时间复杂度为 (O(n))。
2. 空间复杂度：
   • 需要两个数组存储中间状态，空间复杂度为 (O(n))。

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个人思考与总结

1. 动态规划的优势：

   • 通过明确递推关系，可以有效避免重复计算。
   • 本题中的递推关系，结合了状态转移的思想，既考虑了最后一步的步数，又保证了约束条件的正确性。

2. 问题的变形与扩展：

   • 如果约束条件变为不能连续走同样的步数，问题将如何变化？
   • 如果允许更大的步数，比如 1、2 和 3 步，又该如何处理？

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总结

本题通过动态规划的方式，将复杂的约束条件转化为简单的状态转移关系。代码逻辑清晰，递推公式易于理解，适合用来学习动态规划的基本思路。