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比赛配对问题 - MarsCode

有趣的问题，其实并不需要模拟，用数学的方式思考下可以在O1内解决

问题描述

小R正在组织一个比赛，比赛中有 $n$ 支队伍参与。比赛遵循以下独特规则：

规则 1：如果当前队伍数为偶数，那么每两支队伍配对，总共进行 $n / 2$ 场比赛，且产生 $n / 2$ 支队伍进入下一轮。
规则 2：如果当前队伍数为奇数，那么必须给单独留空的队伍安排一个轮空资格，其余的队伍配对。总共进行 $(n - 1) / 2$ 场比赛，且产生 $(n - 1) / 2 + 1$ 支队伍进入下一轮。

小R想知道在整个比赛过程中需要进行的配对次数，直到只剩下一支获胜队伍为止。

解法 1：逐轮模拟

核心逻辑

在逐轮模拟中：

每次根据队伍数量的奇偶性计算出当前需要进行的比赛场次。
更新下一轮的队伍数量。
重复这一过程，直到只剩下一支队伍。

Go代码实现

package main

import "fmt"

func solution(n int) int {
	matches := 0

	for n > 1 {
		if n%2 == 0 {
			// 偶数场次
			matches += n / 2
			n /= 2
		} else {
			// 奇数场次
			matches += (n - 1) / 2
			n = (n - 1) / 2 + 1
		}
	}

	return matches
}

func main() {
    // 测试用例
    fmt.Println(solution(7) == 6)
    fmt.Println(solution(14) == 13)
    fmt.Println(solution(1) == 0)
}

Python代码实现

def solution(n: int) -> int:
    cnt = 0  # 记录总比赛次数

    while n > 1:
        cnt += n // 2  # 计算当前轮比赛场次
        n = (n // 2) + (n % 2)  # 更新剩余队伍数

    return cnt


if __name__ == "__main__":
    # 测试用例
    print(solution(7) == 6)   # 应输出 True
    print(solution(14) == 13) # 应输出 True
    print(solution(1) == 0)   # 应输出 True

复杂度分析

时间复杂度：
- 每一轮队伍数减少一半，最多进行 $\log n$ 轮，因此时间复杂度为 $O(\log n)$ 。
空间复杂度：
- 只需常数个变量记录比赛次数和剩余队伍数，空间复杂度为 $O(1)$ 。

解法 2：数学推导

推导过程

换个角度来思考，其实重点在于总的匹配次数，而不在于每次除以2进行匹配这个行为，所以可以认为每次只匹配两支队伍，然后淘汰一支队伍，意思就是说一次匹配=一次淘汰，所以我们只需要计算总的淘汰队伍数就可以了，即最后只剩下一支队伍对应的淘汰数就是n-1

每一场比赛都会淘汰一支队伍。
$n$ 支队伍需要进行 $n - 1$ 场比赛，才能决出唯一的胜者。

因此：

\text{总比赛场次} = n - 1

数学代码实现

Go实现

package main

import "fmt"

func solution(n int) int {
	return n-1
}

func main() {
    fmt.Println(solution(7) == 6)
    fmt.Println(solution(14) == 13)
    fmt.Println(solution(1) == 0)
}

Python实现

def solution(n: int) -> int:
    return n-1


if __name__ == "__main__":
    # 测试用例
    print(solution(7) == 6)   # 应输出 True
    print(solution(14) == 13) # 应输出 True
    print(solution(1) == 0)   # 应输出 True

复杂度分析

时间复杂度：
- 数学公式只需一次减法操作，时间复杂度为 $O(1)$ 。
空间复杂度：
- 不需要额外存储，空间复杂度为 $O(1)$ 。

比较分析

方法	时间复杂度	空间复杂度	优点	缺点
逐轮模拟	$O(\log n)$	$O(1)$	模拟过程直观，适合扩展其他规则	比较次数多，效率略低
数学推导	$O(1)$	$O(1)$	高效直接，适合计算简单场次问题	不适合更复杂的比赛规则问题