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选题：### 问题描述

小M有 nn 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 aiai​，背面是 bibi​。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 109+7109+7 取模。

例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。 问题理解：好的，让我们详细解释一下这个问题的核心要求。

问题核心

我们需要找到一种方法，使得从 n 张卡牌中选择正面或背面朝上，使得所有选中的数字之和可以被3整除。由于可能的方案数量很大，结果需要对 10^9+7 取模。

详细解释

1. 卡牌选择：

   • 每张卡牌有两个面，正面和背面，分别写着不同的数字。
   • 你需要从每张卡牌中选择一个面（正面或背面），使得所有选中的数字之和可以被3整除。

2. 数字之和：

   • 假设你选择了第 i 张卡牌的正面数字 a_i，或者背面数字 b_i。
   • 你需要确保所有选中的数字之和 sum(selected_numbers) 可以被3整除，即 sum(selected_numbers) % 3 == 0。

3. 方案数量：

   • 由于可能的方案数量很大，结果需要对 10^9+7 取模。
   • 这意味着你需要计算所有可能的方案数，并将结果对 10^9+7 取模，以避免整数溢出。

示例解释

让我们通过一个简单的例子来进一步理解：

假设有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)。

• 选择 1, 2, 3：和为 1 + 2 + 3 = 6，可以被3整除。
• 选择 1, 3, 2：和为 1 + 3 + 2 = 6，可以被3整除。
• 选择 2, 2, 3：和为 2 + 2 + 3 = 7，不能被3整除。
• 选择 2, 3, 2：和为 2 + 3 + 2 = 7，不能被3整除。
• 选择 2, 2, 3：和为 2 + 2 + 3 = 7，不能被3整除。
• 选择 2, 3, 2：和为 2 + 3 + 2 = 7，不能被3整除。

在这个例子中，只有两种选择（1, 2, 3 和 1, 3, 2）满足条件，因此结果为2。

总结

我们需要找到所有可能的组合，使得所有选中的数字之和可以被3整除，并将结果对 10^9+7 取模。

数据结构选择

由于我们需要计算所有可能的组合，并且需要考虑每张卡牌的正面和背面，因此可以使用递归或动态规划来解决这个问题。

算法步骤

1. 递归思路：

   • 定义一个递归函数 count_ways(index, remainder)，其中 index 表示当前处理的卡牌索引，remainder 表示当前选择的数字之和对3的余数。
   • 如果 index 等于 n，表示已经处理完所有卡牌，此时如果 remainder 为0，则表示找到了一种有效方案，返回1，否则返回0。
   • 否则，递归调用 count_ways 处理下一张卡牌，分别考虑当前卡牌的正面和背面，并更新 remainder。
   • 最终返回所有有效方案的数量，并对 10^9+7 取模。

2. 动态规划思路：

   • 定义一个二维数组 dp[index][remainder]，其中 index 表示当前处理的卡牌索引，remainder 表示当前选择的数字之和对3的余数。
   • dp[index][remainder] 表示从第 index 张卡牌开始，使得数字之和对3的余数为 remainder 的方案数。
   • 初始化 dp[n][0] = 1，表示当处理完所有卡牌时，余数为0的方案数为1。
   • 从后向前填充 dp 数组，根据当前卡牌的正面和背面更新 dp 值。
   • 最终返回 dp[0][0]，表示从第一张卡牌开始，使得数字之和对3的余数为0的方案数。

代码框架

def solution(n, a, b):

    def count_ways

    (index, remainder)

    :

        # 如果已经处理完

        所有卡牌

        if index == n:

            return 1 

            if 

            remainder 

            == 0 else 

            0

        

        # 递归处理下一张

        卡牌，分别考虑当

        前卡牌的正面和背

        面

        ways = 0

        ways += 

        count_ways

        (index + 1, 

        (remainder + a

        [index]) % 3)

        ways += 

        count_ways

        (index + 1, 

        (remainder + b

        [index]) % 3)

        

        # 返回结果并对 

        10^9+7 取模

        return ways % 

        (10**9 + 7)

    # 从第一张卡牌开始，

    初始余数为0

    return count_ways

    (0, 0) 感悟：

• 递归方法可能会导致重复计算，可以使用记忆化搜索（memoization）来优化。
• 动态规划方法可以避免重复计算，并且通常比递归方法更高效。