问题描述：83-小S的货船租赁冒险
小S在码头租用货船，有 Q 种不同类型的货船可供选择。每种货船有固定的数量 m[i]、租赁成本 v[i] 和最大载货量 w[i]。小S希望在预算 V 元内，租用能够承载最大总货物的货船组合。每种货船的具体信息包括数量、租赁价格和载货量。小S需要你帮忙计算在给定预算下，她能租用的货船的最大总载货量是多少。
Q: 货船的种类数量。V: 李华可用的总预算（单位：元）。ships: 一个列表，其中每个元素是一个元组[m[i], v[i], w[i]]，分别表示第i种货船的数量、租赁价格和每艘货船的最大载货量。
测试样例
样例1：
输入：
Q = 2,V = 10,ships = [[2, 3, 2], [3, 2, 10]]
输出：32
样例2：
输入：
Q = 3,V = 50,ships = [[5, 10, 20], [2, 20, 30], [3, 15, 25]]
输出：100
样例3：
输入：
Q = 1,V = 100,ships = [[10, 5, 50]]
输出：500
样例4：
输入：
Q = 4,V = 100,ships = [[1, 100, 200], [2, 50, 100], [3, 33, 66], [4, 25, 50]]
输出：200
样例5：
输入：
Q = 2,V = 300,ships = [[100, 1, 1], [50, 5, 10]]
输出：550
该题为典型的背包问题的变种，需要使用动态规划。
问题分析
- 这是一个有限制条件的最优化问题
- 限制条件：总预算V和每种货船的数量限制m[i]
- 目标：在预算内获得最大的总载货量
- 每种货船有三个属性：数量、价格和载货量
解题方法选择
- 由于这是一个"选择多个物品求最大值"的问题，适合使用动态规划
- 这是一个完全背包问题的变种，因为每种货船可以选择多次（在数量限制内）
- 需要考虑每种货船的数量限制，所以要在完全背包的基础上加入数量维度
动态规划设计
# 状态定义
dp[j] 表示预算为j时能获得的最大载货量
# 状态转移方程
dp[j] = max(dp[j], dp[j - k*v] + k*w)
# 其中k是选择的当前类型货船的数量，范围是[1,m]
代码实现步骤
第一步：创建dp数组
dp = [0] * (V + 1) # 初始化dp数组，大小为预算+1
第二步：遍历每种货船
for i in range(Q):
m, v, w = ships[i] # 获取当前货船的数量、价格和载货量
第三步：对每种货船进行动态规划
# 从大到小遍历预算
for j in range(V, -1, -1):
# 尝试使用不同数量的当前类型货船
for k in range(1, m + 1):
if j >= k * v: # 确保预算足够
dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * v] + k * w)
代码优化考虑
- 使用逆序遍历预算可以避免重复计算
- 通过判断预算是否足够(j >= k * v)来减少不必要的计算
- 直接在原始dp数组上更新，节省空间复杂度
时间复杂度分析
- 三重循环：O(Q * V * max(m))
- Q是货船种类数
- V是总预算
- max(m)是单种货船的最大数量
完整代码
def solution(Q, V, ships):
# 创建dp数组，dp[v]表示预算为v时能获得的最大载货量
dp = [0] * (V + 1)
# 对每种船进行遍历
for i in range(Q):
m, v, w = ships[i] # m:数量 v:价格 w:载货量
# 从大到小遍历预算
for j in range(V, -1, -1):
# 对当前类型的船，尝试使用不同数量
for k in range(1, m + 1):
# 如果当前预算能够购买k艘这种船
if j >= k * v:
dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * v] + k * w)
return dp[V]
if __name__ == "__main__":
# You can add more test cases here
ships = [[2, 3, 2], [3, 2, 10]]
ships2 = [[30, 141, 47], [9, 258, 12], [81, 149, 13], [91, 236, 6], [27, 163, 74], [34, 13, 58], [61, 162, 1], [80, 238, 29], [36, 264, 28], [36, 250, 2], [70, 214, 31], [39, 116, 39], [83, 287, 4], [61, 269, 94], [23, 187, 46], [78, 33, 29], [46, 151, 2], [71, 249, 1], [67, 76, 85], [72, 239, 17], [61, 256, 49], [48, 216, 73], [39, 49, 74]]
print(solution(2, 10, ships) == 32)
print(solution(23, 400, ships2) == 1740)
