小S的货船租赁大冒险：如何在预算内装满货舱？

大家好，今天我们来聊聊小S的货船租赁大冒险。小S在码头遇到了一个难题：她需要在有限的预算内，租用能够承载最大货物的货船组合。听起来是不是有点像在玩一个策略游戏？让我们一起来看看如何用动态规划（DP）来解决这个有趣的问题。

问题概述

小S有 Q 种不同类型的货船可供选择，每种货船有固定的数量、租赁成本和最大载货量。她的目标是：在预算 V 元内，租用能够承载最大总货物的货船组合。

举个例子

假设小S有以下货船选择：

货船A：数量2，租赁成本3元，载货量2吨
货船B：数量3，租赁成本2元，载货量10吨

她的预算 V 是10元。那么，她应该如何选择货船，才能在10元内装满最多的货物呢？

动态规划：我们的秘密武器

动态规划（DP）是一种非常强大的算法技术，特别适合解决这类“在有限资源内最大化收益”的问题。我们可以用一个数组 dp 来记录在不同预算下能够获得的最大载货量。

1. 定义状态

我们定义 dp[j] 表示在预算为 j 元时能够租用的最大总载货量。

2. 状态转移方程

对于每种货船 (count, cost, capacity)，我们需要考虑租用不同数量的该种货船对当前预算的影响。具体来说，我们可以租用 0 到 min(count, j // cost) 艘该种货船。

状态转移方程为：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * cost] + k * capacity)

其中 k 是从 0 到 min(count, j // cost) 的整数。

3. 初始化

我们初始化 dp[0] = 0，表示预算为 0 时，最大载货量为 0。

4. 最终结果

dp[V] 即为在预算为 V 元时能够租用的最大总载货量。

代码实现

让我们来看看如何用Python实现这个算法：

def solution(Q, V, ships):
    # 初始化dp数组，dp[j]表示在预算为j元时的最大载货量
    dp = [0] * (V + 1)
    
    # 遍历每种货船
    for count, cost, capacity in ships:
        # 从大到小遍历预算，避免重复计算
        for j in range(V, cost - 1, -1):
            # 计算租用k艘该种货船的最大载货量
            for k in range(1, min(count, j // cost) + 1):
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * cost] + k * capacity)
    
    # 返回在预算为V元时的最大载货量
    return dp[V]

if __name__ == "__main__":
    ships1 = [[2, 3, 2], [3, 2, 10]]
    ships2 = [[5, 10, 20], [2, 20, 30], [3, 15, 25]]
    ships3 = [[10, 5, 50]]
    
    print(solution(2, 10, ships1) == 32)  # True
    print(solution(3, 50, ships2) == 100)  # True
    print(solution(1, 100, ships3) == 500)  # True

测试样例

样例1：预算10元，货船选择如上，输出为 32，表示在10元内能够装满32吨货物。
样例2：预算50元，货船选择如上，输出为 100，表示在50元内能够装满100吨货物。
样例3：预算100元，货船选择如上，输出为 500，表示在100元内能够装满500吨货物。

总结

通过动态规划，我们成功地帮助小S在有限的预算内，租用了能够承载最大货物的货船组合。这个过程就像是在玩一个策略游戏，每一步都需要精心计算，才能达到最佳效果。希望小S的货船租赁大冒险能给你带来一些启发和乐趣！