比赛配对问题题解 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小R正在组织一个比赛，比赛中有 n 支队伍参赛。比赛遵循以下独特的赛制：

• 如果当前队伍数为 偶数，那么每支队伍都会与另一支队伍配对。总共进行 n / 2 场比赛，且产生 n / 2 支队伍进入下一轮。
• 如果当前队伍数为 奇数，那么将会随机轮空并晋级一支队伍，其余的队伍配对。总共进行 (n - 1) / 2 场比赛，且产生 (n - 1) / 2 + 1 支队伍进入下一轮。

小R想知道在比赛中进行的配对次数，直到决出唯一的获胜队伍为止。

测试样例

样例1：

输入：n = 7
输出：6

样例2：

输入：n = 14
输出：13

样例3：

输入：n = 1
输出：0

思路分析

一、明确问题的递归性质

我们要计算比赛进行到决出唯一获胜队伍时的配对次数。每一轮比赛后队伍数量会发生变化，而这个变化后的情况又可以看作是一个新的、规模更小的同类型问题，这符合递归的特点，即问题可以分解为相似的子问题。

二、确定递归的终止条件

当只剩下一支队伍时，比赛结束，也就不再有配对比赛的情况发生了。所以递归的终止条件就是队伍数量等于 1 时，此时返回的配对次数应该是 0，因为已经决出冠军，不再需要进行新的配对了。

三、分析每一轮比赛的情况并构建递归关系

1. 队伍数量为偶数时：

   • 如果当前有n支队伍且n为偶数，那么这一轮会进行n/2场比赛（也就是n/2次配对），然后下一轮就会有n/2支队伍继续比赛。
   • 所以当n为偶数时，总的配对次数应该是这一轮的配对次数(n/2)加上下一轮比赛（以n/2支队伍进行比赛）所需要的配对次数。这里下一轮比赛所需的配对次数就可以通过递归调用函数来计算，因为它又是一个规模更小的同样问题，只是队伍数量变成了n/2。

2. 队伍数量为奇数时：

   • 如果当前有n支队伍且n为奇数，那么这一轮会进行(n-1)/2场比赛（也就是(n-1)/2次配对），然后下一轮就会有(n-1)/2+1支队伍继续比赛。
   • 所以当n为奇数时，总的配对次数应该是这一轮的配对次数（(n-1)/2）加上下一轮比赛（以(n-1)/2+1支队伍进行比赛）所需要的配对次数。同样，下一轮比赛所需的配对次数可以通过递归调用函数来计算，此时队伍数量变成了(n-1)/2+1。

代码

int solution(int n) {
    // write code here
    int i=0;
    if(n==1){
        return i;
    }
    else if(n%2==0){
        i=n/2;
        return i+solution(i);
    }
    else{
        i=(n-1)/2;
        return i+solution(i+1);
    }
}

int main() {
    printf("%d\n", solution(7) == 6);
    printf("%d\n", solution(14) == 13);
    printf("%d\n", solution(1) == 0);

    return 0;
}

代码解析

• 变量声明：

  • 在函数开头声明了一个整型变量 i，并初始化为 0，这个变量用于记录当前轮次的配对次数。

• 递归终止条件（n == 1） ：

  • 当传入的队伍数量 n 等于 1 时，意味着已经决出了唯一的获胜队伍，此时不需要再进行任何配对比赛了，所以直接返回 i（其值为 0）。

• 队伍数量为偶数情况（n % 2 == 0） ：

  • 当 n 是偶数时，根据赛制，每支队伍都会与另一支队伍配对，总共会进行 n / 2 场比赛，也就是 n / 2 次配对。所以先将 i 赋值为 n / 2。
  • 然后，因为这一轮比赛结束后，会有 n / 2 支队伍进入下一轮继续比赛，而下一轮比赛所需要的配对次数同样可以通过调用 solution 函数来计算（这就是递归调用），所以最终返回当前轮次的配对次数 i 加上下一轮比赛（队伍数量变为 n / 2）所需的配对次数 solution(i)。

• 队伍数量为奇数情况（n % 2!= 0） ：

  • 当 n 是奇数时，根据赛制，将会随机轮空并晋级一支队伍，其余的队伍配对，总共会进行 (n - 1) / 2 场比赛，即 (n - 1) / 2 次配对。所以先将 i 赋值为 (n - 1) / 2。
  • 接着，这一轮比赛结束后，会有 (n - 1) / 2 + 1 支队伍进入下一轮继续比赛，同样需要调用 solution 函数来计算下一轮比赛（队伍数量变为 (n - 1) / 2 + 1）所需的配对次数（递归调用），最后返回当前轮次的配对次数 i 加上下一轮比赛所需的配对次数 solution(i + 1)。

知识点总结

在解决这个问题中我们用到了递归算法。递归就是在函数的定义中使用函数自身的方法。一个函数直接或间接地调用自身来解决问题，将复杂的大问题逐步分解为与原问题相似但规模更小的子问题，直到子问题简单到可以直接求解（即达到递归终止条件）。递归算法中的关键要素是递归的终止条件和递归关系，这两点弄明白了就可以用递归算法解决基本问题了。