小M的好二叉树豆包|MarsCodeAI刷题

解题思路

1. 理解题目：题目要求我们计算给定 n 个节点时可以构成的好二叉树的数量。好二叉树的定义是每个节点要么没有孩子，要么有两个孩子。这意味着树的节点数 n 必须是奇数。

2. 动态规划：我们可以使用动态规划来解决这个问题。定义 dp[i] 为有 i 个节点时可以构成的好二叉树的数量。

3. 状态转移方程：对于每个节点数 i，我们可以将其分解为根节点和左右子树。假设左子树有 j 个节点，那么右子树就有 i - 1 - j 个节点（因为根节点占用一个节点）。因此，状态转移方程为：

   plaintext

   dp[i] = sum(dp[j] * dp

   [i - 1 - j]) for j in 

   range(1, i, 2)

   这里 j 和 i - 1 - j 都是奇数，因为它们必须是好二叉树的节点数。

4. 初始条件：dp[1] = 1，因为只有一个节点时，只有一种好二叉树（即只有一个根节点）。

5. • 1. 取模：由于结果需要对 10^9 + 7 取模，我们在每次计算时都需要取模。

public class Main {
    public static int solution(int n) {
        // 如果n是偶数，直接返回0，因为不可能构成好二叉树
        if (n % 2 == 0) return 0;

        // 定义模数
        final int MOD = 1000000007;

        // 初始化dp数组
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1; // 初始条件

        // 填充dp数组
        for (int i = 3; i <= n; i += 2) {
            for (int j = 1; j < i; j += 2) {
                dp[i] = (dp[i] + (dp[j] * dp[i - 1 - j]) % MOD) % MOD;
            }
        }

        return dp[n];
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(solution(5) == 2);
        System.out.println(solution(7) == 5);
        System.out.println(solution(9) == 14);
    }
}

代码解释

1. 初始检查：

   java

   if (n % 2 == 0) 

   return 0;

   这一行代码检查 n 是否为偶数。如果是偶数，直接返回 0，因为根据题目描述，好二叉树的节点数必须是奇数。

2. 定义模数：

   java

   final int MOD = 

   1000000007;

   这一行定义了一个常量 MOD，用于在计算过程中对结果取模，以防止整数溢出。

3. 初始化 dp 数组：

   java

   int[] dp = new int[n 

   + 1];

   dp[1] = 1; // 初始条件

   这里初始化了一个大小为 n + 1 的数组 dp，用于存储动态规划的结果。dp[1] 被初始化为 1，因为只有一个节点时，只有一种好二叉树（即只有一个根节点）。

4. 填充 dp 数组：

   java

   for (int i = 3; i <= 

   n; i += 2) {

       for (int j = 1; j 

       < i; j += 2) {

           dp[i] = (dp

           [i] + (dp[j] 

           * dp[i - 1 - 

           j]) % MOD) % 

           MOD;

       }

   }

   这一部分是核心的动态规划逻辑。外层循环遍历所有奇数 i，表示当前考虑的节点数。内层循环遍历所有可能的左子树节点数 j，并计算对应的右子树节点数 i - 1 - j。然后，根据状态转移方程 dp[i] = sum(dp[j] * dp[i - 1 - j]) 更新 dp[i]，并在每次计算时对结果取模。

5. 返回结果：

   java

   return dp[n];

   最后，返回 dp[n]，即有 n 个节点时可以构成的好二叉树的数量。

关键点

1. 动态规划：通过 dp 数组存储中间结果，避免重复计算。
2. 状态转移方程：dp[i] = sum(dp[j] * dp[i - 1 - j])，表示将 i 个节点分解为根节点和左右子树的组合。
3. 取模操作：在每次计算时对结果取模，防止整数溢出。

通过这些步骤，代码能够正确计算出给定 n 个节点时可以构成的好二叉树的数量。