小Q的非素数和排列问题
问题描述
小C对排列很感兴趣，她想知道有多少个长度为n的排列满足任意两个相邻元素之和都不是素数。排列定义为一个长度为n的数组，其中包含从1到n的所有整数，每个数字恰好出现一次。
测试样例
样例1：
输入：n = 5
输出：4
样例2：
输入：n = 3
输出：0
实现思路
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排列问题的基本要求：因为排列包含从
1到n的所有整数，而且每个数字恰好出现一次，因此排列的所有元素都是1到n的一个全排列。 -
素数判断：需要定义一个判断素数的函数。判断一个数字是否为素数，即判断该数字是否只能被
1和自身整除。 -
排列条件： 对于每一个排列，检查任意两个相邻数字之和是否是素数。如果是素数，则该排列不符合条件；如果所有相邻的数字之和都不是素数，则该排列符合条件。
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回溯算法的应用：使用回溯算法生成所有可能的排列。对于每一个排列，当我们选择一个数字时，检查该数字与前一个数字之和是否是素数。如果是素数，跳过该选择；如果不是素数，继续选择下一个数字。
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优化：由于问题规模较大，使用回溯时可以通过剪枝来减少不必要的计算。如果当前选择的数字与前一个数字之和已经是素数，则可以立即返回，不继续扩展当前路径。
实现步骤
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生成排列：对于从
1到n的整数，可以使用回溯法来生成所有排列。每次选择一个数字，并确保这个数字未被使用。 -
检查相邻数字和是否为素数：在生成排列时，检查当前数字与前一个数字之和是否为素数。如果是素数，剪枝，跳过这个排列。
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计数符合条件的排列： 对于每个符合条件的排列，将计数器加一，最后返回符合条件的排列数量。
def is_prime(num):
if num <= 1:
return False
if num == 2:
return True
if num % 2 == 0:
return False
for i in range(3, int(num**0.5) + 1, 2):
if num % i == 0:
return False
return True
def backtrack(n, path, used, result):
if len(path) == n:
result.append(path[:])
return
for i in range(1, n + 1):
if not used[i]:
if path and is_prime(path[-1] + i):
continue # 剪枝：如果当前元素与前一个元素之和是素数，跳过
used[i] = True
path.append(i)
backtrack(n, path, used, result)
path.pop()
used[i] = False
def solution(n: int) -> int:
result = []
used = [False] * (n + 1)
backtrack(n, [], used, result)
return len(result)
时间复杂度
- 回溯的复杂度：回溯的时间复杂度主要取决于排列的生成过程。对于
n个元素，共有n!种排列组合。每次递归会尝试每一个未使用的数字，因此生成所有排列的时间复杂度为O(n!)。 - 素数判断的复杂度：对于每个排列中的每一对相邻数字，
is_prime函数的时间复杂度是O(sqrt(num))。在最坏情况下，对于每个排列中的每对相邻数字，is_prime函数的复杂度为O(sqrt(n))。
所以，整体的时间复杂度是 O(n! * sqrt(n))。
