青训营X豆包 MarsCode AI|豆包MarsCode AI刷题卡牌翻面求和问题

卡牌翻面求和问题 | python解法

题目分析

问题简述

我们需要选择每张卡牌的正反面，使得所有选择的卡牌的数字和可以被3整除。对于每张卡牌，正反面的数字不同，因此每张卡牌的选择有两个可能性，即正面朝上或背面朝上。问题的目标是计算所有可能的选择方式中，使得数字和能被3整除的组合数。

给定条件中，数字可能会很大，导致可能的选择方式数量非常庞大，因此最终结果需要对 10^9 + 7取模。

解题思路

为了高效地求解问题，可以通过 动态规划 (Dynamic Programming, DP) 的方法来处理。

动态规划的核心思想

我们可以使用一个三元组的 dp 数组，来表示某一时刻选取的卡牌的数字和的模3余数。具体地，dp[0] 代表和对3取模为0的组合数，dp[1] 代表和对3取模为1的组合数，dp[2] 代表和对3取模为2的组合数。

每当我们处理一张新卡牌时，我们需要根据当前卡牌的正面和背面的模3余数来更新这个 dp 数组。

详细步骤

初始化状态 初始时，数字和为0的组合只有一种情况，即没有选择任何卡牌时，和为0。因此，dp[0] = 1，而 dp[1] = dp[2] = 0。
迭代处理每张卡牌 对于每一张卡牌，我们首先计算其正面和背面数字对3的余数，即 rem_a = a[i] % 3 和 rem_b = b[i] % 3。

然后，我们根据当前的 dp 数组来更新每一种余数的组合数。具体地，假设当前有一组组合数 dp[j]，那么：
- 选择正面朝上的情况会使得当前和的模3余数增加 rem_a。
- 选择背面朝上的情况会使得当前和的模3余数增加 rem_b。
对每一张卡牌，我们会根据这两个选择更新一个临时数组 temp，并将其应用到 dp 中。
更新状态 更新时，我们不直接修改 dp 数组，而是使用一个临时数组 temp 来存储当前卡牌处理后的结果。这样可以避免更新时的干扰问题。
最终结果 处理完所有卡牌后，dp[0] 就是和为0的组合数，也即和能被3整除的组合数。

时间复杂度

每张卡牌的处理需要更新 dp 数组，而 dp 数组的大小固定为3。因此，每张卡牌的处理时间复杂度为O(1)。
总共有 n 张卡牌，因此整体时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度

我们只使用了一个大小为3的 dp 数组来存储每种余数的组合数，因此空间复杂度为 O(1)。

代码实现

def solution(n: int, a: list, b: list) -> int:
    MOD = 10**9 + 7
    
    # dp[i] 表示和对3取模为i的组合数
    dp = [1, 0, 0]  # 初始时只有和为0的组合数为1
    
    for i in range(n):
        # 临时保存当前轮次的结果
        temp = [0, 0, 0]
        
        # 计算正面和反面卡片数值的模3余数
        rem_a = a[i] % 3
        rem_b = b[i] % 3
        
        # 更新 dp 数组
        for j in range(3):
            temp[(j + rem_a) % 3] = (temp[(j + rem_a) % 3] + dp[j]) % MOD
            temp[(j + rem_b) % 3] = (temp[(j + rem_b) % 3] + dp[j]) % MOD
        
        # 将临时计算结果应用到 dp
        dp = temp
    
    # 返回和能被3整除的组合数
    return dp[0]

拓展:背包问题

这道题属于 动态规划中的 "状态压缩" 或 "子集状态转移" 类型的问题，具体来说，它可以归类为 "背包问题" 的变种，特别是与 模运算相关的背包问题。这种问题通常通过 "状态压缩" 的方式来处理，因为我们只需要跟踪一小部分状态，而不是所有可能的状态。

动态规划的状态转移

背包问题的核心思想
- 背包问题通常会有一个或多个物品，每个物品都有一定的权值或代价（例如这里的卡牌的数字），我们需要在有限的资源（背包容量）下，选择一些物品使得某些条件最优（例如最大价值、最小成本、可被某个数整除的组合等）。
- 在这道题中，背包容量被模3约束，因为我们关心的是所有选择的卡牌的数字和对3取模后的值。
状态表示
- 在标准的背包问题中，我们用一个数组 dp[i] 表示选择某些物品后，背包容量为 i 时的最优值。而在这个问题中，我们使用一个 dp[3] 数组，其中 dp[i] 表示当前卡牌选择后的数字和对3取模后的余数为 i 的组合数。
转移方程
- 每张卡牌有两种选择：正面或背面。正面的数字和对3的余数是 a[i] % 3，背面的数字和对3的余数是 b[i] % 3。
- 我们根据前一张卡牌的状态（即当前数字和的模3值），通过这两种选择来更新当前的 dp 数组。
空间压缩
- 本题巧妙地利用了 "状态压缩"。通常背包问题需要维护一个二维的状态数组来表示每个状态转移，但由于我们只关心每个状态对3的余数，状态空间可以压缩为一个大小为3的数组，表示每个模3余数对应的组合数。
- 这大大减少了空间复杂度，只需要存储当前的 dp 数组，并通过一个临时数组 temp 来更新。

这道题和背包问题的异同：

相似点：
- 都是通过选择物品来满足一定条件，且在选择时会影响总和（在背包问题中是总价值，或在这道题中是模3的余数）。
- 都可以通过动态规划的方式来解决，定义一个状态数组来表示当前的选择情况，然后通过转移方程来更新状态。
不同点：
- 背包问题通常关注的是最大值或最小值，而这道题关注的是能被3整除的组合数。目标并不是优化某个量，而是符合模3约束。
- 背包问题通常有明确的容量或重量限制，而本题没有类似的容量限制，而是与数字和的模3余数相关。

其他相关类型

模运算问题 这类问题通常会涉及到对某个数（如和、差、积等）取模并要求满足某些条件。在本题中，所有卡牌的选择组合数需要满足数字和能被3整除，也就是和对3取模为0。这类问题常见于处理大规模数据时，避免溢出并保持结果在一定范围内。
区间背包问题 如果卡牌的数量很大，可以考虑将问题转化为区间背包问题。通过子集枚举和状态转移，可以进一步优化。
组合优化问题 本题是通过动态规划计算所有可能组合的模3余数的数量，属于组合优化问题中的一种。

总结

这道题的核心是利用动态规划计算卡牌选择的组合数，使得所有选出的卡牌的数字和对3取模结果为0。通过三元组的 dp 数组来跟踪和的模3余数，并通过滚动数组的方式更新每一张卡牌的选择情况，能够高效地解决问题。