比赛匹配问题|豆包MarsCode AI

问题分析

每一轮比赛的队伍数 n 会根据以下规则进行配对：

1. 当队伍数为偶数：每支队伍都会与另一支队伍配对，进行 n / 2 场比赛，产生 n / 2 支队伍进入下一轮。
2. 当队伍数为奇数：一支队伍轮空，剩下的 n - 1 支队伍进行配对，进行 (n - 1) / 2 场比赛，产生 (n - 1) / 2 + 1 支队伍进入下一轮。

我们需要计算从初始队伍数到最后剩下唯一队伍时，总共进行的配对次数。

关键思路

• 每一轮的配对次数可以通过 n // 2 计算（即队伍数除以 2）。

• 在每一轮结束后，队伍数会根据奇偶性变化：

  • 如果是偶数，队伍数变为 n / 2；
  • 如果是奇数，队伍数变为 (n // 2) + 1，即轮空队伍加上一场比赛的获胜队伍。

我们需要继续模拟这个过程，直到队伍数变为 1。

步骤

1. 初始化一个变量 pair_count 用于记录总配对次数。

2. 当队伍数 n 大于 1 时，执行以下步骤：

   • 计算当前轮次的配对次数：pair_count += n // 2。

   • 根据当前队伍数的奇偶性，更新队伍数：

     • 如果 n 为偶数，n 更新为 n / 2；
     • 如果 n 为奇数，n 更新为 (n // 2) + 1。

3. 当队伍数变为 1 时，停止循环，输出 pair_count。

算法实现

pythonCopy Code
def total_matches(n):
    pair_count = 0  # 记录总的配对次数
    
    while n > 1:
        # 当前轮次的配对次数
        pair_count += n // 2
        
        # 更新队伍数
        if n % 2 == 0:
            n = n // 2  # 偶数时，队伍数减半
        else:
            n = (n // 2) + 1  # 奇数时，一队轮空，剩余队伍减半
    
    return pair_count

# 测试案例
n = 7  # 假设有7支队伍
print(total_matches(n))  # 输出：6

解释与分析

假设我们有 n = 7 支队伍，比赛的过程如下：

• 第一轮：有 7 支队伍，队伍数为奇数。进行 (7 - 1) / 2 = 3 场比赛，产生 3 + 1 = 4 支队伍进入下一轮。配对次数为 3。
• 第二轮：剩余 4 支队伍，队伍数为偶数。进行 4 / 2 = 2 场比赛，产生 2 支队伍进入下一轮。配对次数为 2。
• 第三轮：剩余 2 支队伍，队伍数为偶数。进行 2 / 2 = 1 场比赛，产生 1 支队伍进入最终轮。配对次数为 1。

总的配对次数为 3 + 2 + 1 = 6。

时间复杂度

• 每轮比赛都会减少队伍数一半，直到最终剩下 1 支队伍。因此比赛的总轮数大约是 log2(n)。
• 在每一轮中，我们只做简单的除法和判断操作，时间复杂度为常数级别 O(1)。
• 因此，整个算法的时间复杂度为 O(log n)，适合较大规模的 n。

总结

通过模拟比赛的过程并逐轮计算配对次数，我们可以在每一轮递减队伍数的同时累计配对的总次数，直到最终只剩一支队伍。此算法的时间复杂度为 O(log n)，可以高效地处理较大的输入规模。