数组元素之和最小化 | 豆包MarsCode AI刷题题目描述小C希望构造一个包含n个元素的数组，且满足以下条件: 数

小C希望构造一个包含n个元素的数组，且满足以下条件:

$n = 3, k = 1$

构造目标 我们需要构造一个大小为 ( n ) 的数组，满足以下条件：
- 数组中的元素两两不同；
- 所有元素的最大公约数 (GCD) 为 ( k )；
- 数组元素之和尽可能小。
条件推导
- GCD的影响 如果数组的最大公约数是 ( k )，则数组的所有元素都必须是 ( k ) 的倍数。这是由最大公约数的定义决定的。
- 两两不同的要求 为了满足元素两两不同，最简单的选择是选取 ( k, 2k, 3k, \ldots, nk )。
- 最小化数组和 为了使数组之和最小，我们可以从最小的 ( k ) 倍数开始按顺序选取，直到选够 ( n ) 个。

确保所有条件被满足
- 条件 1：所有元素两两不同。
  - 要求数组中的元素不重复，且彼此之间没有相同的值。
  - 我们选择按倍数递增的方法，选取 $k, 2k, 3k, \ldots, nk$ ，这样可以轻松保证两两不同。
- 条件 2：所有元素的最大公约数是 k。
  - 如果所有元素都是 k 的倍数，且最小值是 k，那么数组的 GCD 为 k。选择连续的 k 倍数满足此条件。
- 条件 3：数组的总和尽可能小。
  - 最小化数组和意味着从最小值开始构造数组，依次选择 $k, 2k, 3k, \ldots, nk$ 。
简化问题
- 确定了数组的构造规则后，问题变为求出数组元素的和： $S = k + 2k + 3k + \ldots + nk$
- 进一步简化为： $S = k \times (1 + 2 + 3 + \ldots + n)$
- 利用等差数列求和公式计算： $1 + 2 + \ldots + n = \frac{n \times (n + 1)}{2}$ 所以： $S = k \times \frac{n \times (n + 1)}{2}$

输入分析
- 输入两个参数 n 和 k，分别表示数组长度和最大公约数。
- 输入限制：n 和 k 均为正整数。
公式构造
- 数组元素由 $k, 2k, 3k, \ldots, nk$ 构成。
- 数组的总和公式为： $S = k \times \frac{n \times (n + 1)}{2}$
实现步骤
- 第一步：计算等差数列的和： $Sum = \frac{n \times (n + 1)}{2}$
- 第二步：乘以 k 得到最终结果： $S = k \times Sum$
- 第三步：返回结果。
优化操作
- 使用整数运算避免浮点误差；
- 避免循环构造数组，直接使用公式计算，提升效率。

理解 GCD 的约束 确保数组的最大公约数为 ( k ) 是核心难点，尤其是如何从数学角度解释和实现这一约束。具体来说：
- 若数组中存在一个元素不是 ( k ) 的倍数，则 ( GCD \neq k )；
- 若数组中有两个数的 GCD 小于 ( k )，则整个数组的 GCD 也会小于 ( k )。
保证两两不同且最小和
- 元素两两不同的要求限制了可以选择的数的范围；
- 要让和最小，必须从最小的数开始，这对设计优化方案至关重要。
公式化思路 将问题抽象为公式并快速求解，既需要数学推导能力，也需要确保公式的正确性。

 int solution(int n, int k) {
     // write code here
     return k * (1 + n) * n / 2;
 }