困难题:拨号器 | 豆包MarsCode AI刷题

题目解析

问题描述

小F正在使用一个骑士跳跃方式的拨号器。这个拨号器是一个类似电话键盘的 3x4 矩阵，每个数字对应一个单元格，骑士只能站在蓝色数字单元格上进行跳跃（数字 1 到 9 和 0）。骑士的移动方式和国际象棋中的马相同：它可以垂直移动两个单元格并水平移动一个单元格，或水平移动两个单元格并垂直移动一个单元格，形成 "L" 形。

plaintext

123

456

789

*0#

给定一个整数 n，你需要帮助小F计算骑士可以拨出的所有长度为 n 的不同电话号码的数量。骑士可以从任何数字开始，并在 n-1 次有效跳跃后得到一个有效号码。答案可能非常大，因此你需要返回对 10^9 + 7 取模的结果。

测试样例

样例1：

输入：n = 1
输出：10

样例2：

输入：n = 2
输出：20

样例3：

输入：n = 3
输出：46

样例4：

输入：n = 4
输出：104

解题思路

1. 定义状态：

   • 使用一个二维数组 dp[i][j]，其中 i 表示跳跃的次数（从 0 到 n-1），j 表示当前所在的数字。
   • dp[i][j] 表示在 i 次跳跃后，骑士在数字 j 上可以形成的不同电话号码的数量。

2. 初始化：

   • 当 i = 0 时，dp[0][j] = 1，因为骑士可以从任何一个数字开始，并且不需要跳跃。

3. 状态转移：

   • 对于每个数字 j，我们需要知道它可以跳跃到哪些数字。我们可以预先计算每个数字可以跳跃到的数字集合。
   • 然后，我们可以通过遍历所有可能的跳跃来更新 dp 数组。

4. 最终结果：

   • 最终的结果是 dp[n-1][j] 的总和，其中 j 是所有可能的数字。

知识总结

动态规划（Dynamic Programming）

动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。它通常用于优化问题，如最短路径问题、背包问题等。

状态转移方程

状态转移方程是动态规划中的核心概念，它描述了如何从一个状态转移到另一个状态。在本题中，状态转移方程为：

python

dp[i][num] = (dp[i][num] + dp[i-1]

[next_num]) % MOD

取模运算

由于结果可能非常大，我们需要对结果取模 10^9 + 7。取模运算可以防止整数溢出，并且在计算过程中保持结果的正确性。

学习计划

1. 基础知识学习：

   • 学习动态规划的基本概念和常见应用场景。
   • 理解状态转移方程的构建和使用。

2. 进阶练习：

   • 完成一些经典的动态规划问题，如最长递增子序列、背包问题等。
   • 尝试解决不同类型的动态规划问题，如区间动态规划、树形动态规划等。

3. 项目实践：

   • 参与开源项目或个人项目，应用动态规划解决实际问题。
   • 尝试优化现有算法，提升代码效率。

4. 持续学习：

   • 关注最新的算法和数据结构研究，保持学习的热情。
   • 参加编程竞赛，如LeetCode、Codeforces等，提升解题能力。

工具运用

1. IDE（集成开发环境） ：

   • 使用VS Code、PyCharm等IDE进行代码编写和调试。
   • 配置好代码格式化工具，如Black、Pylint等，保持代码风格一致。

2. 版本控制：

   • 使用Git进行版本控制，管理代码的变更历史。
   • 使用GitHub、GitLab等平台进行代码托管和协作开发。

3. 调试工具：

   • 使用Python的调试工具，如pdb、ipdb等，进行代码调试。
   • 使用IDE的调试功能，设置断点、查看变量值等。

4. 性能分析：

   • 使用Python的性能分析工具，如cProfile、line_profiler等，分析代码的性能瓶颈。
   • 使用可视化工具，如SnakeViz，查看性能分析结果。

通过以上四个方面的学习和实践，你将能够更好地理解和应用动态规划，提升编程能力，并在实际项目中高效地解决问题。