方向一——小M的好二叉树（动态规划）题解
问题描述
小M定义了一种特殊的二叉树，称之为“好二叉树”。当且仅当这个二叉树中的所有节点的孩子数量为偶数（即每个节点要么没有孩子，要么有两个孩子），该二叉树才被称为好二叉树。
现在，小M想知道，给定 n 个节点，可以构成多少种不同形态的好二叉树？答案需要对 10^9 + 7 取模。
测试样例
样例1：
输入：
n = 5
输出：2
样例2：
输入：
n = 7
输出：5
样例3：
输入：
n = 9
输出：14
题目解析
这是一道经典动态规划问题，考察了二叉树的构造和动态规划的应用。通过分析题目的基本要求：要求树的每个非叶子节点都有两个孩子（即“好二叉树”），我得出了以下思路：
- 节点数必须是奇数：如果节点数是偶数，则无法分配给左右子树相同的节点数，因为每个子树必须至少有一个节点，因此直接返回0。
- 动态规划：我使用了一个
dp数组，其中dp[i]表示使用i个节点构造“好二叉树”的数量。然后通过递推公式，依次计算每个节点数对应的可能树形。
通过将每个节点数分解为左右子树的组合，可以发现，递归计算左右子树的数量是一种有效的动态规划方法。
代码解析：
def solution(n: int) -> int:
MOD = 10**9 + 7
if n % 2 == 0: # 如果节点数是偶数，返回0
return 0
dp = [0] * (n + 1)
dp[1] = 1 # 1个节点时，只有1种方式
for i in range(3, n + 1, 2): # 只考虑奇数节点数
for j in range(1, i, 2):
dp[i] += dp[j] * dp[i - 1 - j]
dp[i] %= MOD
return dp[n]
复制代码
通过这个例子，我深刻理解了如何将递归问题转化为动态规划问题来提高计算效率。
知识总结
在使用豆包MarsCode AI刷题的过程中，我学习了以下几个重要的知识点：
- 动态规划与分治思想：动态规划通过将大问题拆解为子问题来优化计算复杂度。这种方法特别适用于具有重叠子问题的场景，像树的构造问题就可以通过分解节点数来计算每种可能的子树形态。
- 模运算的应用：在一些算法中，如本题的动态规划，我们常常会遇到需要对结果进行模运算的情况。这主要是为了防止结果过大，同时满足题目对结果范围的要求。
- 偶数节点的特殊性：在构造“好二叉树”的问题中，我发现偶数节点无法满足左右子树节点数相等的条件，这一点是判断问题是否可以继续推导的关键。
对其他入门同学的建议：
- 理解基础知识：在开始刷题之前，首先要确保对基本数据结构（如数组、树、图等）和算法（如递归、动态规划、贪心等）有一个清晰的理解。
- 分步进行：每道题目都应该先分析其数据范围、解题思路和可能的优化方案。先不急于写代码，做一些思维的训练。
- 反思与总结：遇到不会做的题目要记录下来，思考自己的不足并进行针对性学习。
学习计划
结合豆包MarsCode AI刷题功能，我总结了一些高效学习方法：
-
制定刷题计划：
- 阶段性目标：比如每周完成至少 5 道难度适中的题目，每个月刷完一个专题（如动态规划、图算法等），可以根据自己的情况而定。
- 重点突破：在刷题过程中，要集中攻克自己的薄弱环节，逐步增加题目的难度。
-
利用错题进行针对性学习：
- 记录错题：每次遇到不懂或错的题目，要详细记录并分析错误原因。
- 总结错题：定期回顾错题，重点理解其中的知识点和思路，防止同样的错误重复发生。
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掌握算法思想：理解题目背后的算法思想，而不仅仅是代码实现。例如，动态规划的核心思想是通过分解问题来求解，而贪心算法则是每次选择局部最优解。掌握这些基本思想有助于应对更多的题目。
工具运用
将 豆包MarsCode AI 刷题功能 与其他学习资源相结合，我得到了更好的学习效果。具体方法如下：
- 利用题库进行专项训练：豆包MarsCode AI 提供的题库非常丰富，我可以根据自己的薄弱环节选择专项训练。例如，如果我觉得动态规划有困难，可以选择动态规划专场进行集中练习。
- 结合视频和书籍学习：在解题过程中，如果遇到不理解的算法或数据结构，我会查阅相关的视频教程或书籍，如《算法导论》或《LeetCode 刷题攻略》。通过不同的资源，我能够更全面地理解题目。
- AI辅助解题：在解答过程中，豆包MarsCode AI 的实时反馈和解析功能非常有帮助，它能让我快速定位错误，并提供更优化的解法思路。这样不仅节省了时间，还提高了学习效率。
学习建议：
- 多做笔记：将自己的思考过程和总结写下来，帮助自己加深理解。
- 与他人交流：多和同学或论坛上的人交流，讨论解题思路，可以收获更多的解题技巧。
通过这些方法，我相信在以后的日子里，我们可以提升自己的编程能力，也可以更加高效地解决刷题过程中的各类问题。
