选择背包问题（小S的货船租赁冒险） | 豆包MarsCode AI刷题

用户699532051026
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题目解析：

在这道题目中，核心问题是如何在给定预算内租用货船，并使得租用的货船最大化载货量。实际上，这个问题是背包问题的一个变种，具体来说是完全背包问题。背包问题本身是一个经典的动态规划问题，但当物品数量不固定时（如每种货船有一个最大数量），就变成了完全背包问题。

思路分析：

  1. 定义问题： 我们有 Q 种不同的货船，每种货船有一个固定的数量、租赁价格和最大载货量。我们需要在给定预算 V 内，选择最优的船只组合，目标是最大化选中船只的总载货量。

  2. 动态规划模型： 我们可以用动态规划的方式解决这个问题。定义一个数组 dp[j]，其中 dp[j] 表示在预算为 j 时，能够租用的货船的最大载货量。

  3. 转移方程： 对于每种货船，假设每艘船的租赁价格为 v[i]，最大载货量为 w[i]，数量为 m[i]，我们可以选择从 0 到 m[i] 艘船进行组合。每次选择 k 艘船时，更新 dp 数组：

[dp[j] = \max(dp[j], dp[j - k \cdot v[i]] + k \cdot w[i])]

其中，k 表示选择了 k 艘船，v[i] 是每艘船的租赁成本，w[i] 是每艘船的载货量。注意要从大到小遍历 j，以确保每种船不会被重复计算。

  1. 边界条件：

    • 初始时，dp[0] = 0，即没有预算时，载货量为 0。
    • 对于所有 j > 0，初始化为 0，表示没有选择任何船只时，载货量为 0。

  2. 最终目标： 最终，我们需要返回 dp[V]，即在最大预算 V 下，能够获取的最大载货量。

代码详解：

python

def solution(Q, V, ships):
    # dp[j]表示在预算j元情况下，最大载货量
    dp = [0] * (V + 1)
    
    # 遍历每种货船
    for m, cost, weight in ships:
        # 对于每种货船，我们从预算V向下遍历，避免重复使用同一艘船
        for j in range(V, -1, -1):
            # 尝试从0到m艘船进行选择
            for k in range(1, m + 1):
                # 如果当前预算足够选择k艘船
                if j >= k * cost:
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * cost] + k * weight)
                else:
                    break
    
    # 最终答案是dp[V]，即在最大预算V下，能获取的最大载货量
    return dp[V]

# 测试用例
if __name__ == "__main__":
    ships = [[2, 3, 2], [3, 2, 10]]
    ships2 = [[30, 141, 47], [9, 258, 12], [81, 149, 13], [91, 236, 6], [27, 163, 74], [34, 13, 58], [61, 162, 1], [80, 238, 29], [36, 264, 28], [36, 250, 2], [70, 214, 31], [39, 116, 39], [83, 287, 4], [61, 269, 94], [23, 187, 46], [78, 33, 29], [46, 151, 2], [71, 249, 1], [67, 76, 85], [72, 239, 17], [61, 256, 49], [48, 216, 73], [39, 49, 74]]
    print(solution(2, 10, ships) == 32)  # 期望输出 32
    print(solution(23, 400, ships2) == 1740)  # 期望输出 1740

知识总结：

  1. 背包问题： 背包问题是计算机科学中最经典的问题之一。在这道题中，背包问题的变种是完全背包问题，其中每种物品有一个最大数量限制，且物品的选择是完全的（即我们可以选择多次同一个物品）。

  2. 动态规划的应用： 通过动态规划（DP）来解决背包问题的关键是理解状态转移方程。这里，dp[j] 记录的是在预算为 j 时，所能获取的最大载货量。每次更新时，我们尝试从 j 开始，逐步向下更新状态。

  3. 优化思路：

    • 使用倒序遍历 j 可以避免在同一轮中重复选择同一个物品。
    • 在选择物品时，动态调整选择的数量，避免多次遍历的冗余。

学习方法与心得：

  1. 从基础问题开始： 背包问题本身是一个经典的动态规划问题，学习背包问题的解法是理解动态规划的重要一步。在此基础上，我们可以学习不同变种问题（如0/1背包、完全背包、分组背包等）。

  2. 分步思考： 在解决这类问题时，首先明确问题的模型和转移方程。不要急于写代码，而是应该先把问题拆解成简单的小步骤，思考如何通过状态转移更新结果。

  3. 多做题，累积经验： 动态规划算法是非常灵活的，不同类型的背包问题需要不同的状态转移思路。通过不断练习不同的背包问题，能帮助我们掌握动态规划的精髓，提升解题能力。

  4. 学习动态规划的技巧：

    • 注意状态的定义和状态转移。
    • 在遍历物品时要特别小心避免重复计算。
    • 尝试将问题抽象为状态转移图，以帮助自己清晰地理解问题。

出现问题及解决办法：

  1. 重复计算问题： 在最初的实现中，可能会导致物品被重复计算。为避免这种情况，必须从预算 V 开始逆向遍历，而不是从小到大，这样每次更新时就能保证不会在同一轮中重复选择同一艘船。
  2. 时间复杂度过高： 如果货船的数量非常多，且每种货船的数量也很大，可能会导致超时问题。此时需要考虑优化动态规划的方式，或者利用贪心策略（在某些情况下）进行近似解。
  3. 边界条件处理： 在某些特殊情况下，预算 V 可能小于某些船的最小租赁价格，处理好这些边界条件，避免出现错误。

对其他同学的学习建议：

  1. 理解动态规划： 动态规划是一个高级算法技巧，初学者可能会觉得难以理解。建议从最简单的背包问题入手，逐步学习更复杂的变种问题。
  2. 先手动推演，后编码实现： 在解决问题时，先尝试用手动方式推演一遍状态转移过程，理解状态的更新规则，再将其转化为代码。
  3. 多做题并总结： 刷题时，要学会总结不同问题的解法技巧。总结自己的经验，归纳背包问题的不同变种及其解决方法，有助于后续更高效地解决类似问题。````
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