数据结构

弈宸
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数据结构

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所有数据结构都是基于数组、链表或二者的组合实现的。

  • 基于数组可实现：栈、队列、哈希表、树、堆、图、矩阵、张量（维度 ≥3 的数组）等。
  • 基于链表可实现：栈、队列、哈希表、树、堆、图等。

1. 数据结构分类

1.1. 逻辑结构

逻辑结构揭示了数据元素之间的逻辑关系。逻辑结构可分为“线性”和“非线性”两大类。 线性结构中元素之间是一对一的顺序关系。 image.png

1.2. 物理结构

物理结构分为连续和分散。当算法程序运行时，正在处理的数据主要存储在内存中。系统通过内存地址来访问目标位置的数据。 image.png

当某块内存被某个程序占用时，则通常无法被其他程序同时使用了。因此在数据结构与算法的设计中，内存资源是一个重要的考虑因素。物理结构反映了数据在计算机内存中的存储方式，可分为连续空间存储（数组）和分散空间存储（链表）。 image.png

2. 基本数据类型

基本数据类型是 CPU 可以直接进行运算的内容的类型，在算法中直接被使用，主要包括以下几种。

  • 整数类型 byte、short、int、long 。
  • 浮点数类型 float、double ，用于表示小数。
  • 字符类型 char ，用于表示各种语言的字母、标点符号甚至表情符号等。
  • 布尔类型 bool ，用于表示“是”与“否”判断。

基本数据类型以二进制的形式存储在计算机中。字节（byte）由 8 比特（bit）组成。每种编程语言都有各自的数据类型定义，它们的占用空间、取值范围和默认值可能会有所不同。

基本数据类型提供了数据的“内容类型”，而数据结构提供了数据的“组织方式”

3. 数字编码

3.1. 原码、反码和补码

  • 原码：我们将数字的二进制表示的最高位视为符号位，其中 0 表示正数，1 表示负数，其余位表示数字的值。
  • 反码：正数的反码与其原码相同，负数的反码是对其原码除符号位外的所有位取反。
  • 补码：正数的补码与其原码相同，负数的补码是在其反码的基础上加 1 。 image.png

tips：

  1. 负数的原码无法直接用于运算
  2. 进行与负数相关的运算时，将负数原码转为反码之后进行运算
  3. 数字零的原码有 +0 和 −0 两种表示方式，因此引入补码进行修正歧义。
  4. 基于补码表示，计算机可以用同样的电路和操作来处理正数和负数的加法，不需要设计特殊的硬件电路来处理减法，并且无须特别处理正负零的歧义问题。这大大简化了硬件设计，提高了运算效率。

3.2. 浮点数编码

浮点数 float 采用了不同的表示方式。记一个 32 比特长度的二进制数为：

b31b30b29…b2b1b0

根据 IEEE 754 标准，32-bit 长度的 float 由以下三个部分构成。

  • 符号位 S ：占 1 位 ，对应 b31 。
  • 指数位 E ：占 8 位 ，对应 b30b29…b23 。
  • 分数位 N ：占 23 位 ，对应 b22b21…b0 。

float 的表示方式包含指数位，导致其取值范围远大于 int，但其副作用是牺牲了精度。整数类型 int 将全部 32 比特用于表示数字，数字是均匀分布的；而由于指数位的存在，浮点数 float 的数值越大，相邻两个数字之间的差值就会趋向越大。

二进制数 float 对应值的计算方法为： val=(−1)b31×2(b30b29…b23)2−127×(1.b22b21…b0)2\mathrm{val}=(-1)^{b_{31}}\times2^{(b_{30}b_{29}\ldots b_{23})_{2}{-127}}\times(1.b_{22}b_{21}\ldots b_{0})_{2} 转化到十进制下的计算公式为： val=(−1)S×2E−127×(1+N)\mathrm{val}=(-1)^{{\mathrm{S}}}\times2^{{\mathrm{E}-127}}\times(1+\mathrm{N}) 其中各项的取值范围为： S∈{0,1},E∈{1,2,…,254}(1+N)=(1+∑i=123b23−i2−i)⊂[1,2−2−23]\mathrm{S\in}\{0,1\},\quad\mathrm{E}\in\{1,2,\ldots,254\}\\(1+\mathrm{N})=(1+\sum_{i=1}^{23}b_{23-i}2^{-i})\subset[1,2-2^{-23}]

4. 字符编码

4.1. ASCII 字符集

image.png

4.2. Unicode 字符集

Unicode 的中文名称为“统一码”，理论上能容纳 100 多万个字符。它致力于将全球范围内的字符纳入统一的字符集之中，提供一种通用的字符集来处理和显示各种语言文字，减少因为编码标准不同而产生的乱码问题。

Unicode 是一种通用字符集，本质上是给每个字符分配一个编号（称为“码点”），但它并没有规定在计算机中如何存储这些字符码点。

当多种长度的 Unicode 码点同时出现在一个文本中时，系统如何解析字符？一种直接的解决方案是将所有字符存储为等长的编码。 image.png 若采用上述方案，英文文本占用空间的大小将会是 ASCII 编码下的两倍，非常浪费内存空间。

4.3. UTF-8 编码

UTF-8 编码是一种可变长度的编码，使用 1 到 4 字节来表示一个字符，根据字符的复杂性而变。

UTF-8 的编码规则并不复杂，分为以下两种情况。

  • 对于长度为 1 字节的字符，将最高位设置为 0 ，其余 7 位设置为 Unicode 码点。值得注意的是，ASCII 字符在 Unicode 字符集中占据了前 128 个码点。也就是说，UTF-8 编码可以向下兼容 ASCII 码。这意味着我们可以使用 UTF-8 来解析年代久远的 ASCII 码文本。

  • 对于长度为 n 字节的字符（其中 n>1），将首个字节的高 n 位都设置为 1 ，第高 n+1 位设置为 0 ；从第二个字节开始，将每个字节的高 2 位都设置为 10 ，这个 10 能够起到校验符的作用。；其余所有位用于填充字符的 Unicode 码点。 image.png

除了 UTF-8 之外，常见的编码方式还包括以下两种。

  • UTF-16 编码：使用 2 或 4 字节来表示一个字符。所有的 ASCII 字符和常用的非英文字符，都用 2 字节表示；少数字符需要用到 4 字节表示。对于 2 字节的字符，UTF-16 编码与 Unicode 码点相等。
  • UTF-32 编码：每个字符都使用 4 字节。这意味着 UTF-32 比 UTF-8 和 UTF-16 更占用空间，特别是对于 ASCII 字符占比较高的文本。

从存储空间占用的角度看，使用 UTF-8 表示英文字符非常高效，因为它仅需 1 字节；使用 UTF-16 编码某些非英文字符（例如中文）会更加高效，因为它仅需 2 字节，而 UTF-8 可能需要 3 字节。 从兼容性的角度看，UTF-8 的通用性最佳，许多工具和库优先支持 UTF-8 。

4.4. 其他编码方式

  1. EASCII 字符集：这些字符集的前 128 个字符统一为 ASCII 码，后 128 个字符定义不同，以适应不同语言的需求。
  2. GBK 字符集：在 GBK 的编码方案中，ASCII 字符使用一个字节表示，汉字使用两个字节表示。

4.5. 编程语言中的字符编码

对于以往的大多数编程语言，程序运行中的字符串都采用 UTF-16 或 UTF-32 这类等长编码。在等长编码下，我们可以将字符串看作数组来处理。

  • 随机访问：UTF-16 编码的字符串可以很容易地进行随机访问。UTF-8 是一种变长编码，要想找到第 i 个字符，我们需要从字符串的开始处遍历到第 i 个字符，这需要 O(n) 的时间。
  • 字符计数：与随机访问类似，计算 UTF-16 编码的字符串的长度也是 O(1) 的操作。但是，计算 UTF-8 编码的字符串的长度需要遍历整个字符串。
  • 字符串操作：在 UTF-16 编码的字符串上，很多字符串操作（如分割、连接、插入、删除等）更容易进行。在 UTF-8 编码的字符串上，进行这些操作通常需要额外的计算，以确保不会产生无效的 UTF-8 编码。
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