问题描述
小M有 nn 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 ai，背面是 bi。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 10^9+7 取模。
例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。
测试样例
样例1：
输入：
n = 3 ,a = [1, 2, 3] ,b = [2, 3, 2]
输出：3
样例2：
输入：
n = 4 ,a = [3, 1, 2, 4] ,b = [1, 2, 3, 1]
输出：6
样例3：
输入：
n = 5 ,a = [1, 2, 3, 4, 5] ,b = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：32
这是一道经典动态规划的题目，结合了动态规划与数论的知识，难度不算大，但是是非常经典的动态规划的问题，对于我们上手熟悉动态规划算法是非常合适的。
看题目，简单来说就是一个组合优化的问题，目的是要找出所有符合特定条件的组合，即和模3为0，每张卡牌只有两个值ai和bi，我们需要对总和模3进行分类统计，最终找到总和模3为0的所有方案数，但是卡牌数量非常多，直接暴力枚举所有组合的话大概率会超时，因此要想其他方法，最先想到的肯定是动态规划，就是通过状态转移逐步构建更复杂情况下的解。
我们定义的状态：dp[i][mod]表示在前i张卡牌中，选择某些正面或反面，使得总和模3等于mod的方案数,对于每张卡牌i，正面数字是a[i]，反面数字是b[i]，当我们遍历到第i张牌的时候，可以选择它的正面或者反面向上，如果当前总和模3为j的话，选择正面后，总和变为：(j + a[i]) % 3，同理，选择反面后，总和变为(j + b[i]) % 3,。因此状态转移方程定义为:
dp[i][(j + a[i]) % 3] += dp[i - 1][j]
dp[i][(j + b[i]) % 3] += dp[i - 1][j]
对于第一张牌，我们有两种选择，选择正面：dp[1][a[0] % 3] = 1.选择反面：dp[1][b[0] % 3] = 1，我们在计算完所有卡牌之后，答案就是dp[n][0]，同时不要忘记每次累加时要对10^9+7取模。贴上代码：
const int MOD = 1e9 + 7;
int solution(int n, std::vector<int> a, std::vector<int> b) {
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(3, 0));
dp[1][a[0]%3] += 1;
dp[1][b[0]%3] += 1;
// 状态转移
for (int i=2; i<=n; ++i) {
for (int j=0; j<3; ++j) {
if (dp[i-1][j]>0) {
dp[i][(j+a[i-1])%3]=(dp[i][(j+a[i-1])%3]+dp[i-1][j])%MOD;
dp[i][(j+b[i-1])%3]=(dp[i][(j+b[i-1])%3]+dp[i-1][j])%MOD;
}
}
}
return dp[n][0];
}
复杂度分析：外层遍历遍历n张卡牌，内层循环处理3个模数状态，复杂度为 O(n)。这一类问题的核心就是如何动态管理取模后的状态，他们的本质都是找到适合的状态标识和状态转移方法，通过将问题抽象为状态集合，找出状态之间的联系，我们还可以通过使用滚动数组来对时间复杂度进行进一步优化，可以将本体的时间复杂度优化到常数级，这在动态规划中也是一种非常常见的优化手段。 这道题目结合了动态规划和数论中的模运算性质，展示了如何通过状态转移解决复杂的组合问题。在解题过程中，我们不仅学习了动态规划的应用，还提升了对数学问题建模的能力。希望这篇博客能帮助你更好地理解和解决类似问题！
