青训营X豆包MarsCode 技术训练营刷题5 ｜豆包MarsCode AI 刷题题目描述：小U准备了一些边长为整数

题目描述：
小U准备了一些边长为整数的正方形巧克力板，目标是从中选择若干块巧克力板，使它们的总面积恰好等于给定的整数 ( n )，并且要求选择的巧克力板的总周长尽可能小。每块正方形巧克力板的周长是其边长的四倍，而面积是其边长的平方。

任务：

给定整数 ( n )，你需要选出若干块正方形巧克力板，确保它们的总面积等于 ( n )，并且它们的总周长最小。
输出这个最小的周长。

输入格式：

一个整数 ( n ) （( 1 <= n <= 10^5 )）。

输出格式：

一个整数，表示最小的周长。

解答

这个问题可以通过动态规划和贪心的策略来解决，目标是找到若干个边长为整数的正方形巧克力板，使它们的总面积恰好等于给定的整数 ( n )，并且总周长尽可能小。具体的解决步骤如下：

问题分析

正方形的面积与周长：
- 如果一个正方形的边长为 ( a )，那么它的面积是 ( a^2 )，周长是 ( 4a )。
目标：我们需要选择若干块正方形巧克力板，使它们的总面积恰好等于 ( n )，并且总周长最小。

解题策略

我们可以使用动态规划来解决这个问题：

定义 dp[i] 为面积为 ( i ) 时的最小周长。
初始化 dp[0] = 0（如果面积为 0，没有巧克力板，总周长为 0）。
对于每一个正方形的边长 ( a )，它的面积为 ( a^2 )，可以用这个正方形来构成更大的面积 ( i )（即 ( dp[i] )），并更新相应的周长。

动态规划的转移方程：

对于每个 ( i )（从 1 到 ( n )），遍历所有可能的边长 ( a )（从 1 到 ( \sqrt{n} )），如果 ( i \geq a^2 )，则： [ dp[i] = \min(dp[i], dp[i - a^2] + 4a) ] 其中，dp[i - a^2] + 4a 代表我们将一个边长为 ( a ) 的正方形加到已有面积 ( i - a^2 ) 上后的周长。

实现步骤：

初始化 dp 数组，其中 dp[0] = 0，其它元素初始化为一个较大的值（比如无限大）。
遍历所有的面积 ( i ) 和正方形边长 ( a )，按照动态规划的转移方程更新 dp 数组。
最终，dp[n] 就是总面积为 ( n ) 时的最小周长。

代码实现：

import math

def minPerimeter(n):
    # dp[i] 存储面积为 i 时的最小周长
    dp = [float('inf')] * (n + 1)
    dp[0] = 0  # 面积为 0 时周长为 0

    # 遍历所有面积从 1 到 n
    for i in range(1, n + 1):
        # 遍历所有边长 a，使得 a^2 <= i
        for a in range(1, int(math.sqrt(i)) + 1):
            area = a * a
            if i >= area:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - area] + 4 * a)
    
    return dp[n]

# 测试样例
print(minPerimeter(11))  # 输出 20
print(minPerimeter(13))  # 输出 20
print(minPerimeter(25))  # 输出 20

代码说明：

初始化：dp[0] = 0，表示面积为 0 时周长为 0，其它 dp[i] 初始化为无穷大，表示尚未计算出最小周长。
动态规划更新：对于每个面积 ( i )（从 1 到 ( n )），我们遍历所有可能的正方形边长 ( a )，更新 dp[i] 为当前面积 ( i ) 的最小周长。
最终结果：dp[n] 存储了面积为 ( n ) 时的最小周长。

复杂度分析：

时间复杂度：由于每个面积 ( i ) 需要遍历所有边长 ( a )（最多为 ( \sqrt{n} ) 个边长），因此时间复杂度为 ( O(n \cdot \sqrt{n}) )。
空间复杂度：我们使用一个大小为 ( n+1 ) 的数组 dp，因此空间复杂度为 ( O(n) )。

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任务：