青训营X豆包MarsCode 技术训练营第三课｜豆包MarsCode AI 刷题问题描述小S最近在分析一个数组 h

问题描述

小S最近在分析一个数组 h1,h2,...,hNh1,h2,...,hN，数组的每个元素代表某种高度。小S对这些高度感兴趣的是，当我们选取任意 kk 个相邻元素时，如何计算它们所能形成的最大矩形面积。

对于 kk 个相邻的元素，我们定义其矩形的最大面积为：

R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])

即，R(k)R(k) 的值为这 kk 个相邻元素中的最小值乘以 kk。现在，小S希望你能帮他找出对于任意 kk，R(k)R(k) 的最大值。

测试样例

样例1：

输入：n = 5, array = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：9

样例2：

输入：n = 6, array = [5, 4, 3, 2, 1, 6]
输出：9

样例3：

输入：n = 4, array = [4, 4, 4, 4]
输出：16

题目解析

思路

这道题的核心是通过滑动窗口和单调栈求解最大矩形面积：

定义矩形面积：选取任意 kkk 个相邻元素，矩形面积 R(k)R(k)R(k) 是这些元素的最小值乘以 kkk。
优化计算过程：如果直接对每个 kkk 计算最小值，会导致复杂度为 O(n2)O(n^2)O(n2)。因此，引入单调栈优化到 O(n)O(n)O(n)。
单调栈思想：
- 左右扩展每个元素，找到第一个小于它的位置，从而确定以该元素为高度的矩形宽度。
- 使用单调递增栈快速查找左右边界。

图解

假设数组为 [2,1,5,6,2,3][2, 1, 5, 6, 2, 3][2,1,5,6,2,3]，我们以高度 h[i]h[i]h[i] 为中心计算影响范围：

构建 left 数组：每个柱子左侧第一个小于它的下标。
构建 right 数组：每个柱子右侧第一个小于它的下标。
计算矩形面积：
- 宽度为 right[i]−left[i]−1\text{right}[i] - \text{left}[i] - 1right[i]−left[i]−1，高度为 h[i]h[i]h[i]。
- 更新最大值。

代码详解

代码分为三部分：

初始化：创建 left 和 right 数组，辅助栈 stack。
构建边界：
- 遍历数组，利用单调递增栈分别计算左右边界。
计算最大矩形面积：
- 遍历每个元素，利用宽度和高度计算面积并更新最大值。

代码如下：

python
复制代码
def solution(n, array):
    max_area = 0
    left = [0] * n
    right = [0] * n

    # 构建左边界
    stack = []
    for i in range(n):
        while stack and array[stack[-1]] >= array[i]:
            stack.pop()
        left[i] = stack[-1] if stack else -1
        stack.append(i)

    # 构建右边界
    stack = []
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        while stack and array[stack[-1]] >= array[i]:
            stack.pop()
        right[i] = stack[-1] if stack else n
        stack.append(i)

    # 计算最大矩形面积
    for i in range(n):
        width = right[i] - left[i] - 1
        max_area = max(max_area, width * array[i])

    return max_area

知识总结

新知识点

单调栈：
- 用于快速求解数组中每个元素的左右边界。
- 适用于「第一个小于某值」或「第一个大于某值」的问题。
滑动窗口优化：
- 简化暴力计算中的重复操作，减少时间复杂度。
最大矩形问题模型化：
- 将矩形问题转化为柱状图问题，利用分而治之思想。

理解与建议

对于入门同学：
- 从基础问题入手，理解单调栈的逻辑（如求解下一个更大元素）。
- 逐步尝试应用到实际场景，如最大矩形面积或直方图问题。

学习计划

刷题计划

每天三题：
- 选择简单、中等、困难各一题。
- 确保时间集中在 1-2 小时内完成。
错题本记录：
- 将错误的思路和正确解法进行对比。
- 重点记录不熟悉的算法（如单调栈、动态规划等）。

利用错题进行针对性学习

归类错题：
- 按题型（栈、队列、二分等）分类，明确薄弱环节。
针对性练习：
- 通过 MarsCode AI 提供的类似题目进行强化训练。

工具运用

结合 MarsCode AI 的学习方法

实时代码评测：
- 利用 MarsCode AI 的代码评测功能，快速验证代码的正确性。
错题推荐：
- MarsCode AI 根据错题记录自动推荐相似题目，帮助巩固知识点。
题目解析和提示：
- 使用 MarsCode AI 的解析功能，了解复杂问题的拆解过程。

学习资源结合

与经典算法书籍结合，如《算法导论》。
结合可视化工具（如 Python Tutor）动态演示栈操作过程。

实用建议

多与 AI 互动，快速解决疑惑。
定期复盘，总结常见思路和模式。
参与算法竞赛或社区讨论，获取更多思维拓展的机会。

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