数组元素之和最小化
问题描述
小C希望构造一个包含n个元素的数组，且满足以下条件：
- 数组中的所有元素两两不同。
- 数组所有元素的最大公约数为
k。 - 数组元素之和尽可能小。 任务是输出该数组元素之和的最小值。
测试样例
样例1：
输入：
n = 3 ,k = 1
输出：6
样例2：
输入：
n = 2 ,k = 2
输出：6
样例3：
输入：
n = 4 ,k = 3
输出：30
二、解题思路
分析条件与目标
- 条件解读：
- 首先，要求构造的数组有
n个元素，且元素两两不同。这意味着我们不能重复使用相同的数值来构造数组。 - 其次，数组所有元素的最大公约数为
k，这是一个很关键的限制条件，它表明数组中的每个元素都要是k的倍数，并且共同的最大公约数就是k本身。 - 最后，我们要让数组元素之和尽可能小，这就是我们需要优化的目标。
- 首先，要求构造的数组有
- 目标明确：基于上述条件，我们要找到满足条件的
n个不同的k的倍数，使得它们的和最小。
确定元素选取策略
- 为了使和最小，我们自然想到选取尽可能小的
k的倍数来组成数组。由于元素要两两不同，我们可以按照从小到大的顺序依次选取合适的k的倍数。 - 具体来说，从
k本身开始，每次选取下一个还未使用过的k的倍数。例如，当k = 3时，我们可以依次选取3、6、9、12等（当然要保证符合整体的n个元素的要求）。
三、solution函数
def solution(n: int, k: int) -> int:
return k * sum(range(1, n + 1))
if __name__ == '__main__':
print(solution(n = 3, k = 1) == 6)
print(solution(n = 2, k = 2) == 6)
print(solution(n = 4, k = 3) == 30)
四、时间和空间复杂度分析
时间复杂度分析
- 分析思路：
在solution函数中，核心操作是调用sum函数对range(1, n + 1)生成的序列进行求和。range(1, n + 1)会生成一个包含从1到n的整数序列，其时间复杂度取决于n的大小，生成这个序列的时间复杂度是 。
而sum函数遍历这个序列进行求和操作，其时间复杂度同样与序列的长度也就是n相关，也是 。（因为它需要依次访问序列中的每个元素来累加求和） - 结论：
综合来看，整个solution函数的时间复杂度主要由生成序列和求和操作决定，总体时间复杂度为 ，即时间复杂度与输入参数n的大小呈线性关系，随着n的增大，执行时间大致按线性比例增长。
空间复杂度分析
- 分析思路：
range(1, n + 1)这个操作在 Python 中并不会立刻创建一个包含n个元素的列表来存储这些整数，而是采用了一种类似迭代器的机制，按需生成这些值，在空间占用上相对比较节省。
当调用sum函数对其求和时，在求和过程中主要是使用了有限的几个临时变量（例如用于累加的变量等）来记录中间状态，并不会随着n的增大而占用大量额外的空间。整个函数执行过程中，除了这些必要的临时变量，没有创建与n规模相关的大量额外数据结构来存储数据。 - 结论：
所以，solution函数的空间复杂度可以看作是 ，也就是无论输入的n和k的值是多少，函数执行所占用的空间基本保持在一个常数级别，不会随着输入规模的增大而出现明显的空间增长情况。 综上所述，solution函数的时间复杂度为 ，空间复杂度为 ，在处理该问题时具有较好的时间和空间效率表现，符合在构造满足条件数组并求其元素和最小值场景下对效率的一般期望。
