问题：卡牌翻面求和问题
问题描述：小M有n张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是a_i，背面是b_i。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对10^9+7取模。
例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为(1,2)，(2,3)和(3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。
测试样例
样例1：
输入：
n = 3 ,a = [1, 2, 3] ,b = [2, 3, 2]
输出：3
样例2：
输入：
n = 4 ,a = [3, 1, 2, 4] ,b = [1, 2, 3, 1]
输出：6
样例3：
输入：
n = 5 ,a = [1, 2, 3, 4, 5] ,b = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：32
代码实现
public class Main {
public static final int MOD = 1000000007;
public static int solution(int n, int[] a, int[] b) {
// dp[i][j] 表示前 i 张卡牌，使得和模 3 余 j 的方案数
int[][] dp = new int[n + 1][3];
// 初始状态：0 张卡牌时，和为 0 的方案数为 1
dp[0][0] = 1;
// 遍历每一张卡牌
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 当前卡牌的正面和背面的数字
int num1 = a[i - 1];
int num2 = b[i - 1];
// 遍历余数 0, 1, 2
for (int j = 0; j < 3; j++) {
// 选择正面的情况
dp[i][(j + num1) % 3] = (dp[i][(j + num1) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD;
// 选择背面的情况
dp[i][(j + num2) % 3] = (dp[i][(j + num2) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD;
}
}
// 返回前 n 张卡牌，使得和模 3 余 0 的方案数
return dp[n][0];
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(solution(3, new int[]{1, 2, 3}, new int[]{2, 3, 2}) == 3);
System.out.println(solution(4, new int[]{3, 1, 2, 4}, new int[]{1, 2, 3, 1}) == 6);
System.out.println(solution(5, new int[]{1, 2, 3, 4, 5}, new int[]{1, 2, 3, 4, 5}) == 32);
}
}
代码解释：
- 定义常量
MOD：
public static final int MOD = 1000000007;
- 定义
dp数组：
int[][] dp = new int[n + 1][3];
dp[i][j]表示前 i 张卡牌，使得和模 3 余 j 的方案数。
dp[i][0]表示前 i 张卡牌，使得和模 3 余 0 的方案数，
dp[i][1]表示前 i 张卡牌，使得和模 3 余 1 的方案数，
dp[i][2]表示前 i 张卡牌，使得和模 3 余 2 的方案数。
3.初始状态：
dp[0][0] = 1;
初始状态表示0张卡牌时，和为0的方案数为1。
- 遍历每一张卡牌：
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int num1 = a[i - 1];
int num2 = b[i - 1];
遍历每一张卡牌，num1 和 num2 分别表示当前卡牌的正面和背面的数字。
5.遍历余数 0, 1, 2：
for (int j = 0; j < 3; j++) {
dp[i][(j + num1) % 3] = (dp[i][(j + num1) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD;
dp[i][(j + num2) % 3] = (dp[i][(j + num2) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD;
}
对于每一张卡牌，分别考虑选择正面和背面的数字，更新 dp 数组。具体步骤如下：
dp[i][(j + num1) % 3]：选择正面的情况，更新当前卡牌的方案数。dp[i][(j + num2) % 3]：选择背面的情况，更新当前卡牌的方案数。
6.返回结果：
return dp[n][0];
最终返回 dp[n][0]，即前 n 张卡牌，使得和模 3 余 0 的方案数。
总结
这个代码实现了动态规划的思想，通过逐步构建 dp 数组来计算满足条件的方案数。dp 数组的每一项表示前 i 张卡牌，使得和模 3 余 j 的方案数。通过遍历每一张卡牌，分别考虑选择正面和背面的数字，更新 dp 数组，最终得到满足条件的方案数。
