xxxxx标题 | 豆包MarsCode AI刷题问题描述粮食公司需要将nn吨粮食分配给若干分销商，每个分销商能够获得

问题描述

粮食公司需要将nn吨粮食分配给若干分销商，每个分销商能够获得的粮食数量等于将nn除以分销商数量，向下取整。问题是，计算在可能的分销商数量中，分销商获得的不同粮食数量有多少种可能。

例如，如果粮食总量为5吨，当分销商数量为1时，分销商获得5吨；当分销商数量为2时，分销商获得2吨；当分销商数量为3、4、5时，分销商获得的粮食依次为1吨。这样，不同的分配方案有3种可能。

测试样例

样例1：

输入：n = 5
输出：3

样例2：

输入：n = 7
输出：4

样例3：

输入：n = 10
输出：5

问题分析

题目要求我们计算粮食总量 n 被分配给不同数量的分销商时，分销商获得的粮食数量的不同种类数。每个分销商获得的粮食数量是 n // k，其中 k 是分销商的数量，n // k 表示整除操作。

关键点

对于一个给定的 n，我们可以考虑分销商的数量 k 从 1 到 n 逐个试探。对于每个 k，分销商每人分得的粮食数量是 n // k。
我们需要找出所有不同的 n // k 的值的个数，即有多少种不同的粮食分配方式。

解题思路

观察商的规律：对于一个固定的 n，随着 k 的增大，n // k 的值逐渐减小并趋于 0。每个商的值会有一段区间内是相同的。例如：
- 对于 n = 10，n // 1 = 10，n // 2 = 5，n // 3 = 3，n // 4 = 2，n // 5 = 2，n // 6 = 1，...
- 在商为 2 时，k 从 4 到 5 都是 2，在商为 1 时，k 从 6 到 10 都是 1。
优化思路：
- 我们可以通过计算每个商的值的区间来减少不必要的计算。例如，对于 n // k 相同的区间，可以一次性处理。
算法步骤：
- 从 k = 1 到 k = n 遍历。
- 记录 n // k 的不同值。
使用集合去重：由于 n // k 的值可能会重复，使用集合可以去掉重复的商值。

解释

思路：我们通过遍历从 1 到 n 的每个 k 来计算 n // k，并将结果存入一个集合 unique_values。集合天然去重，因此相同的商值只会存储一次。
返回结果：集合的大小就是不同的粮食分配数量的种类数。

优化思路

虽然上述方法已经正确计算了结果，但其时间复杂度为 O(n)，其中我们计算了每个 n // k 值。在某些情况下，这个过程可能可以通过更精确的分析和优化来减少计算的次数。

例如，我们可以发现：

当 n // k = x 时，所有满足条件的 k 都在一定的区间内，因此我们可以跳过一些冗余的 k 值，直接将这些区间的商值加入集合中。

不过在大多数情况下，直接通过遍历所有 k 的方法也能得到正确且高效的结果。

时间复杂度

上述代码的时间复杂度为 O(n)，因为我们对每个 k（从 1 到 n）都进行了计算。虽然存在优化空间，但一般来说，对于中等规模的 n，这种方式已经足够高效。

示例说明

样例1：
- 输入：n = 5
- 分销商数量可能是 1, 2, 3, 4, 5。
- 对应的 n // k 分别是 5, 2, 1, 1, 1。
- 不同的粮食数量有 3 种：5, 2, 1。
- 输出：3。
样例2：
- 输入：n = 7
- 分销商数量可能是 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。
- 对应的 n // k 分别是 7, 3, 2, 1, 1, 1, 1。
- 不同的粮食数量有 4 种：7, 3, 2, 1。
- 输出：4。
样例3：
- 输入：n = 10
- 分销商数量可能是 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10。
- 对应的 n // k 分别是 10, 5, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1。
- 不同的粮食数量有 5 种：10, 5, 3, 2, 1。
- 输出：5。

def solution(n):
    # 使用一个集合来记录不同的粮食分配量
    unique_values = set()
    
    # 遍历从1到n的每个分销商数量k
    for k in range(1, n + 1):
        unique_values.add(n // k)
    
    # 返回不同分配量的数量
    return len(unique_values)

# 测试样例
print(solution(5))  # 输出: 3
print(solution(7))  # 输出: 4
print(solution(10)) # 输出: 5