最大矩形面积问题 | 豆包MarsCode AI刷题

小S最近在分析一个数组 ℎ1,ℎ2,...,ℎ𝑁，数组的每个元素代表某种高度。小S对这些高度感兴趣的是，当我们选取任意 𝑘k 个相邻元素时，如何计算它们所能形成的最大矩形面积。

对于 𝑘 个相邻的元素，我们定义其矩形的最大面积为：

𝑅(𝑘)=𝑘×𝑚𝑖𝑛(ℎ[𝑖],ℎ[𝑖+1],...,ℎ[𝑖+𝑘−1])

即，𝑅(𝑘)的值为这 𝑘个相邻元素中的最小值乘以 𝑘。现在，小S希望你能帮他找出对于任意 𝑘，𝑅(𝑘) 的最大值。

为了计算给定数组中任意 kk 个相邻元素所能形成的最大矩形面积，我们可以使用单调栈（Monotonic Stack）来高效地解决这个问题。单调栈可以帮助我们在 O(n)O(n) 时间复杂度内找到每个元素左边和右边第一个比它小的元素的位置，从而快速计算出每个元素作为最小值时所能形成的矩形面积。

实现思路

1. 预处理：使用单调栈预处理每个元素左边和右边第一个比它小的元素的位置。
2. 计算最大矩形面积：对于每个元素，计算以该元素为最小值时所能形成的矩形面积，并更新最大值。

详细步骤

1. 初始化：

   • 创建两个数组 left 和 right，分别存储每个元素左边和右边第一个比它小的元素的位置。
   • 初始化 left 数组为 -1，表示左边没有比它小的元素。
   • 初始化 right 数组为 n，表示右边没有比它小的元素。

2. 单调栈预处理：

   • 使用单调递增栈从左到右遍历数组，计算 left 数组。
   • 使用单调递增栈从右到左遍历数组，计算 right 数组。

3. 计算最大矩形面积：

   • 对于每个元素 h[i]，计算以 h[i] 为最小值时的矩形面积 area = h[i] * (right[i] - left[i] - 1)。
   • 更新最大矩形面积。

实现代码

def solution(heights):
    n = len(heights)
    left = [-1] * n
    right = [n] * n
    
    # 单调栈计算 left 数组
    stack = []
    for i in range(n):
        while stack and heights[stack[-1]] >= heights[i]:
            stack.pop()
        if stack:
            left[i] = stack[-1]
        stack.append(i)
    
    # 单调栈计算 right 数组
    stack = []
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        while stack and heights[stack[-1]] >= heights[i]:
            stack.pop()
        if stack:
            right[i] = stack[-1]
        stack.append(i)
    
    # 计算最大矩形面积
    max_area = 0
    for i in range(n):
        area = heights[i] * (right[i] - left[i] - 1)
        max_area = max(max_area, area)
    
    return max_area

# 测试样例
print(solution([1, 2, 3, 4, 5]))  # 输出: 9
print(solution([5, 4, 3, 2, 1, 6]))  # 输出: 9
print(solution([4, 4, 4, 4]))  # 输出: 16

代码解释

1. 初始化：

   • left 和 right 数组分别初始化为 -1 和 n，表示默认值。
   • stack 用于单调栈的实现。

2. 单调栈预处理：

   • 计算 left 数组：从左到右遍历数组，使用单调递增栈找到每个元素左边第一个比它小的元素的位置。
   • 计算 right 数组：从右到左遍历数组，使用单调递增栈找到每个元素右边第一个比它小的元素的位置。

3. 计算最大矩形面积：

   • 对于每个元素 h[i]，计算以 h[i] 为最小值时的矩形面积 area = h[i] * (right[i] - left[i] - 1)。
   • 更新 max_area，最终返回最大矩形面积。

这个算法的时间复杂度是 𝑂(𝑛)，空间复杂度是 𝑂(𝑛)，能够高效地解决这个问题。