数组元素之和最小化 | 豆包MarsCode AI刷题

在解答这道题时，我的目标是构造一个包含 n 个元素的数组，使得数组中的所有元素两两不同，并且这些元素的最大公约数为 k，同时保证数组元素之和尽可能小。这里的几个条件给出了明确的方向：

解题思路

1. 最大公约数为 k 的约束：

   • 首先，题目要求数组的所有元素的最大公约数为 k。这意味着数组中的每一个元素都必须是 k 的倍数。只有这样，所有元素才能拥有共同的因子 k，并且保证 k 是这个数组的最大公约数。
   • 比如，如果 k = 2，那么数组中的元素就必须是 2 的倍数，比如 2, 4, 6, 8 等。

2. 保证数组元素两两不同且和尽可能小：

   • 我需要尽量让数组元素之和小，所以应该从最小的 k 倍数开始取元素。
   • 如果我们选择的元素是 k, 2k, 3k, ..., nk，就可以确保每个元素都是 k 的倍数，同时彼此不同（因为每个元素是 k 的不同倍数）。
   • 这种选择不仅满足了最大公约数为 k 的要求，还保证了元素之间的最小差异，从而让总和尽可能小。

3. 求数组元素之和：

   • 选择元素为 k, 2k, 3k, ..., nk 后，数组的和可以表示为：k * (1 + 2 + 3 + ... + n)。
   • 根据等差数列求和公式，1 + 2 + 3 + ... + n = n * (n + 1) / 2。所以，数组元素之和为： sum=k×n×(n+1)2\text{sum} = k \times \frac{n \times (n + 1)}{2}sum=k×2n×(n+1)​
   • 通过这个公式，我可以直接计算出满足条件的数组元素之和的最小值，无需逐个生成和累加元素。

代码实现

在代码中，我直接使用了上述公式来计算结果：

python
Copy code
def solution(n: int, k: int) -> int:
    # 计算数组元素之和的最小值
    return k * n * (n + 1) // 2

if __name__ == '__main__':
    # 测试用例
    print(solution(n=3, k=1) == 6)
    print(solution(n=2, k=2) == 6)
    print(solution(n=4, k=3) == 30)

复杂度分析

• 时间复杂度：代码的时间复杂度为 O(1)，因为通过一个公式即可得到结果，不需要任何循环操作。
• 空间复杂度：空间复杂度为 O(1)，仅使用了常量级的辅助变量。

测试样例说明

1. 样例 1：n = 3, k = 1

   • 选择元素为 [1, 2, 3]，和为 1 + 2 + 3 = 6，符合条件。

2. 样例 2：n = 2, k = 2

   • 选择元素为 [2, 4]，和为 2 + 4 = 6，符合条件。

3. 样例 3：n = 4, k = 3

   • 选择元素为 [3, 6, 9, 12]，和为 3 + 6 + 9 + 12 = 30，符合条件。

总结

通过这种方法，我成功地利用了数学公式和数列的特性，构造出符合条件的数组并计算其最小和。这个解法不仅满足题目条件，还在性能上很高效，通过了所有测试样例验证。