问题描述
这道题的核心问题是构造一个包含 n 个元素的数组，并且题目中要求需要满足以下条件：1. 所有元素两两不相同：数组中的每个元素必须是唯一的。2. 最大公约数为 k：数组中所有元素的最大公约数必须是 k。3. 元素之和尽可能小：我们需要选择正确的元素，并且使得它们的和最小。
问题分析
1. 最大公约数的理解
- 假设如果一个数组的最大公约数是 k，那么数组中的每个元素都可以表示为 k 的倍数。换句话说，数组中的每个元素都可以写成 k * m 的形式，其中 m 是一个正整数。
2. 数组元素的构造
- 为了满足“所有元素两两不同”的一个条件，我们可以选择 k 的前 n 个倍数，即 k, 2k, 3k, ..., nk。这样可以确保所有元素都是不同的，符合其核心问题是构造一个包含 n 个元素的数组并且它们的最大公约数为 k。
3. 元素之和的计算
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数组的元素之和可以通过以下公式计算：
Sum=𝑘×(1+2+3+...+𝑛)=𝑘×𝑛(𝑛+1)2Sum=k×(1+2+3+...+n)=k×2n(n+1)
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这个公式利用了等差数列求和的性质，1 + 2 + 3 + ... + n 的和为 𝑛(𝑛+1)22n(n+1)。
复杂度分析
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时间复杂度: 由于我们在这个测试中只进行了一次简单的数学计算，所以时间复杂度为 𝑂(1)O(1)。
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空间复杂度: 我们只使用了常数空间来存储一些变量，因此空间复杂度也是 𝑂(1)O(1)。
示例分析
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示例 1: 输入 n = 3, k = 1
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选择的数组为 1, 2, 3，和为 6，最大公约数为 1。
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示例 2: 输入 n = 2, k = 2
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选择的数组为 2, 4，和为 6，最大公约数为 2。
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示例 3: 输入 n = 4, k = 3
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选择的数组为 3, 6, 9, 12，和为 30，最大公约数为 3。
总结
解决这道题的关键在于理解了最大公约数的性质以及如何构造满足条件的数组。我们通过选择 k 的前 n 个倍数，我们可以确保所有元素的最大公约数为 k，并且元素之和最小。使用这个方法的让这个问题的解决方案简单高效，所以比起其他推理方法，可以适合用数学公式直接计算。
