青训营X 豆包MarsCode AI 刷题|连续子串和的整除问题、统计班级中的说谎者一、连续子串和的整除问题问题描述

一、连续子串和的整除问题

问题描述

小明是一个五年级的小学生，今天他刚刚学习了整除，想练习一下自己的掌握情况。他在纸上写了一个长度为 n 的正整数序列，a_0, a_1,..., a_{n - 1}，然后想了一个正整数 b，他想知道这个序列有多少个连续子串的和满足能够被 b 整除。你可以帮帮他吗？

输入格式

共两行，第一行包含两个正整数 n(1 <= n <= 10^5) 和 b(1 <= b <= 10^8)，第二行包含 n 个正整数，表示 a_0, a_1,..., a_{n - 1}(1 <= a_i <= 10^4)。

输出格式

共 1 行，一个整数，表示这个序列有多少个连续子串的和满足能够被 b 整除。

输入样例 1

3 3 1 2 3

输出样例 1

数据范围

50%的数据：n(1 <= n <= 10^3)。

100%的数据：n(1 <= n <= 10^5)。

解题思路：

问题理解

我们需要找到一个长度为 n 的正整数序列中，有多少个连续子串的和能够被给定的正整数 b 整除。

数据结构选择

由于 n 的范围最大可以达到 10^5，直接暴力枚举所有子串的和显然是不可行的，因为这会导致时间复杂度为 O(n^2)，这在 n 较大时会超时。

算法思路

我们可以利用前缀和的思想来优化这个问题。具体步骤如下：

前缀和数组：首先计算序列的前缀和数组 prefixSum，其中 prefixSum[i] 表示从序列的开始到第 i 个元素的和。

余数计数：使用一个哈希表（或数组）来记录每个前缀和模 b 的余数出现的次数。

计算结果：对于每个前缀和 prefixSum[i]，我们只需要知道在它之前有多少个前缀和的余数与 prefixSum[i] 的余数相同。因为如果两个前缀和的余数相同，那么它们之间的子数组的和一定是 b 的倍数。

具体步骤

初始化一个前缀和数组 prefixSum，并计算每个前缀和。初始化一个哈希表 remainderCount，用于记录每个余数出现的次数。遍历前缀和数组，对于每个前缀和 prefixSum[i]，计算其模 b 的余数 remainder。如果 remainderCount 中已经存在 remainder，则说明之前有相同余数的前缀和，这些前缀和与当前前缀和之间的子数组的和是 b 的倍数。将当前余数 remainder 的计数加到结果中，并将 remainder 的计数加 1。

最终代码：

#include <vector>
#include <unordered_map>
 
int solution(int n, int b, std::vector<int> sequence) {
    std::vector<int> prefixSum(n + 1, 0);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        prefixSum[i + 1] = prefixSum[i] + sequence[i];
    }
 
    std::unordered_map<int, int> remainderCount;
    int result = 0;
 
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        int remainder = prefixSum[i] % b;
        if (remainder < 0) remainder += b; // 处理负余数
 
        // 查找之前有多少个前缀和的余数与当前余数相同
        if (remainderCount.find(remainder) != remainderCount.end()) {
            result += remainderCount[remainder];
        }
 
        // 更新余数计数
        remainderCount[remainder]++;
    }
 
    return result;
}
 
int main() {
    std::vector<int> sequence = {1, 2, 3};
    std::cout << (solution(3, 3, sequence) == 3) << std::endl;
    return 0;
}

运行结果：

二、统计班级中的说谎者

问题描述

班里有 N 个学生，第 i 个学生的分数是 A_i。当且仅当分数 <= A_i 的学生数量多于分数比他高的数量时，第 i 个学生会说谎。求出有多少学生会说谎。

输入格式

输入 N 学生的成绩，包含 A_1, A_2, ..., A_N 输出格式对于每组数据，输出有多少学生会说谎。

数据范围

$1 \leq N \leq 100$ $0 \leq A_i \leq 100$ 示例输入 100 100 100

示例输出 3

示例输入 2 1 3

示例输出 2

示例输入 30 1 30 30

示例输出 3

示例输入 19 27 73 55 88

示例输出 3

示例输入 19 27 73 55 88 88 2 17 22

示例输出 5

解题思路：

问题理解

我们需要判断每个学生是否会说谎。具体来说，当且仅当分数 <= A_i 的学生数量多于分数比他高的数量时，第 i 个学生会说谎。

数据结构选择

我们可以使用一个数组来存储学生的分数，然后通过遍历数组来统计每个分数的出现次数。

算法步骤

统计每个分数的出现次数：使用一个数组 count，其中 count[i] 表示分数 i 出现的次数。计算前缀和：使用一个数组 prefix_sum，其中 prefix_sum[i] 表示分数小于等于 i 的学生总数。判断每个学生是否说谎：对于每个学生 A[i]，计算分数小于等于 A[i] 的学生数量和分数大于 A[i] 的学生数量，判断是否满足说谎条件。

最终代码：

#include <vector>
#include <algorithm>
 
int solution(std::vector<int> A) {
    int N = A.size();
    std::vector<int> count(101, 0); // 统计每个分数的出现次数
    std::vector<int> prefix_sum(101, 0); // 前缀和数组
 
    // 统计每个分数的出现次数
    for (int score : A) {
        count[score]++;
    }
 
    // 计算前缀和
    for (int i = 1; i <= 100; ++i) {
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i - 1] + count[i];
    }
 
    int liar_count = 0;
    // 判断每个学生是否说谎
    for (int score : A) {
        int less_or_equal = prefix_sum[score];
        int greater = N - less_or_equal;
        if (less_or_equal > greater) {
            liar_count++;
        }
    }
 
    return liar_count;
}
 
int main() {
    // Add your test cases here
    std::cout << (solution({100, 100, 100}) == 3) << std::endl;
    std::cout << (solution({2, 1, 3}) == 2) << std::endl;
    std::cout << (solution({30, 1, 30, 30}) == 3) << std::endl;
    std::cout << (solution({19, 27, 73, 55, 88}) == 3) << std::endl;
    std::cout << (solution({19, 27, 73, 55, 88, 88, 2, 17, 22}) == 5) << std::endl;
    return 0;
}