2024字节青训营笔记(二)不同直线交点问题 | 豆包MarsCode AI刷题

问题理解

小C正在研究平面上的一些直线，他发现如果有n条直线，它们之间的交点数量取决于这些直线的相互位置。小C知道，如果两条直线平行，它们没有交点；如果两条直线不平行，则它们会有一个交点。同时，保证不存在三条或以上直线共点的情况。

现在，小C想知道，给定n条直线的情况下，可能存在多少种不同的交点数。比如，当n=2时，可能的交点数为0（平行）或1（不平行）。

测试样例

样例1：

输入：n = 2 输出：[0, 1]

样例2：

输入：n = 3 输出：[0, 2, 3]

样例3：

输入：n = 4 输出：[0, 3, 4, 5, 6]

要求

• 给定n条直线，计算可能存在的不同交点数。
• 输出所有可能的交点数。

思路分析

首先，我们很容易知道，n条直线，两两相交(任意3条直线不共点），交点的个数最多有(n-1)n/2个

本题问的是，这些直线有多少种不同的交点数？

容易列举出N=1,2,3的情况：

1. N=1：

   • 只有一条直线，没有交点。
   • 交点数：[0]

2. N=2：

   • 两条直线可以平行或相交。
   • 交点数：[0, 1]

3. N=3：

   • 三条直线可以全部平行、两条平行一条相交、三条相交。
   • 交点数：[0, 2, 3]

4. N=4：

   • 第四条直线可以与前三条直线有不同的组合方式：
     1. 全部平行：0 个交点。
     2. 与其中两条平行：(n-1)*1 + 0 = 3 个交点。
     3. 与其中一条平行：(n-2)*2 + 0 = 4 或 (n-2)*2 + 1 = 5 个交点。
     4. 不与任何一条平行：(n-3)*3 + 0 = 3 或 (n-3)*3 + 2 = 5 或 (n-3)*3 + 3 = 6 个交点。
   • 交点数：[0, 3, 4, 5, 6]

总结规律

通过上述分析，我们可以总结出一个规律：

• n 条直线的交点方案数：
  • 可以表示为 (n-r) 条平行线与 r 条直线交叉的交点数 + r 条直线本身的交点方案数。
  • 公式：(n-r) * r + r 条直线本身的交点方案数，其中 1 <= r <= n。

数据结构选择

使用动态规划（DP）来解决这个问题。定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示使用 i 条直线时，是否可以形成 j 个交点。

算法步骤

1. 初始化 dp 数组：

   • dp[i][0] = 1，表示使用 i 条直线时，可以形成 0 个交点（所有直线都平行）。

2. 动态规划的状态转移：

   • 对于每一条新的直线 i，考虑它与之前的 j 条直线的组合。
   • 如果 dp[j][k] 为 1（即使用 j 条直线可以形成 k 个交点），则 dp[i][(i - j) * j + k] 也为 1。这里 (i - j) * j 表示新加入的 i - j 条直线与之前的 j 条直线形成的交点数。

3. 收集结果：

   • 遍历 dp[n]，收集所有可能的交点数 i，并将其加入结果数组 ans。

求解代码如下：

vector<int> solution(int n) {
  // 初始化 dp 数组
  vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n * (n - 1) / 2 + 1, 0));

  // 初始化 dp[i][0] = 1
  for (int i = 0; i <= n; i++)
    dp[i][0] = 1;

  vector<int> ans;

  // 动态规划的状态转移
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j < i; j++) {
      for (int k = 0; k <= j * (j - 1) / 2; k++) {
        if (dp[j][k] == 1) {
          dp[i][(i - j) * j + k] = 1; //j 条直线与 i-j 条相互平行的直线,可以产生 (i - j) * j 个交点，加上此前 j 条直线所形成的 k 个交点。
        }
      }
    }
  }

  // 收集结果
  for (int i = 0; i <= n * (n - 1) / 2; i++) {
    if (dp[n][i]) {
      ans.push_back(i);
    }
  }

  return ans;
}

知识总结与分析

动态规划（DP）

• 知识点：动态规划是一种通过将问题分解为子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。
• 理解：在本题中，我们使用了一个二维数组 dp 来存储不同数量的直线可能形成的交点数。通过逐步更新 dp 数组，我们可以有效地计算出所有可能的交点数。
• 学习建议：
  • 理解动态规划的基本概念和状态转移方程。
  • 多练习经典的动态规划问题，如背包问题、最长公共子序列等。
  • 注意边界条件的处理和数组初始化。

对其他入门同学的学习建议

1. 打好基础：

   • 掌握编程语言的基本语法和数据结构，如数组、链表、栈、队列等。
   • 理解算法的基本概念，如时间复杂度、空间复杂度、递归、分治等。

2. 参与讨论和交流：

   • 加入编程社区或论坛，与其他编程爱好者交流学习心得和解题思路。
   • 参与编程竞赛或团队项目，提高自己的编程能力和团队协作能力。

3. 持续学习和反思：

   • 不断学习新的编程知识和技巧，关注行业动态和技术发展。
   • 定期回顾和总结自己的学习成果，反思不足之处并加以改进。