基本的定义
偏序关系： 令Σ是一个集合，在Σ上定义一个二元关系≤，满足
(1) ∀x∈Σ，x≤x；
(2) ∀x,y∈Σ，若x≤y且y≤x，则x=y；
(3) ∀x,y,z∈Σ，若x≤y且y≤z，则x≤z，
则称≤为集合Σ上的一个偏序关系，称Σ为偏序集合。
（注：偏序集合中允许存在不可比较的两个元素，沿用上述符号：即允许∃x,y∈Σ，x≤y与y≤x都不成立）
全序关系： 令Σ是一个集合，若Σ上任意两个元素都具有偏序关系≤，则称≤是一个全序关系，称Σ是一个全序集合。
上界与极大元： 令Σ是具有偏序关系≤的集合。令s∈Σ，若对∀a∈Σ，有a≤s，则称s为Σ的上界。若对Σ中任意与s可比较的a，有a≤s，则称s为Σ的极大值。
Zorn引理： 若偏序集合Σ中的任何全序子集合都有上界，则Σ具有极大元。
（注：Zorn引理是集合论中的一个重要定理，其证明可查看集合论相关书籍）
环： 令R是一个非空集合，在R上定义+和×两个运算，满足
(1) R在+运算下是一个交换群；
(2) ×运算满足结合律，即：∀a,b,c∈R，(a×b)×c=a×(b×c)；
(3) +和×满足分配律，即：∀a,b,c∈R，有
(a+b)×c=a×c+b×ca×(b+c)=a×b+a×c
则称<R,+,×>是一个环，不引起混淆情况下，可简记为R，同时乘法符号可忽略不写。
环同态： 令A与B是两个环，f:A→B是一个映射，满足对 ∀a,b∈A，f(ab)=f(a)f(b)且f(a+b)=f(a)+f(b)，则称f是一个同态，若f是单射则是单桶双射，则称f是同构,此时称A与B相互同构。
交换幺环： 令R是一个环，且满足
(1) 乘法交换律，即：∀a,b∈R，a×b=b×a；
(2) R含有乘法幺元，即：∃e∈R，∀a∈R，a×e=e×a=a，
则称R是交换幺环。
理想： 令R是一个环，I⊂R关于加法构成交换群。若对∀r∈R,a∈I，有ra∈I（ar∈I），则称I是R的左理想（右理想）。若I既是左理想又是右理想，则称I是理想。
（注：交换幺环的左理想=右理想=理想）
主理想： 令I是R的理想，若I是由单个元素生成的，即∃s∈R，使得∀a∈I，有a=st (t∈R)，则称I是R的主理想，记为I=(s)。
（注：如无声明，本文所涉及的环均为交换幺环）
理想的运算
理想的和： 令I和J是环R的两个理想，则I+J={a+b∣a∈I,b∈J}是R的理想，称为I与J的和，是同时包含I和J的最小的理想。
证明： 对∀ a+b∈I+J，显然−a+(−b)∈I+J是其加法逆，0是加法幺元。同时，对∀c+d∈I+J，有
(a+b)+(c+a)=(a+c)+(b+d)∈I+J,
因此I+J关于加法构成群。而I+J是R的加法子群，因而是交换群。对∀r∈R，根据理想定义有rI⊂I,rJ⊂J，因此r(I+J)⊂I+J，从而I+J是R的理想。若R的理想A同时包含I和J，则对∀a∈I,b∈J，有a∈A,b∈A，因此a+b∈A，从而I+J⊂A，即I+J是同时包含I和J的最小的理想。
理想互素： 令I和J是环R的理想，若I+J=R，则称理想I与J互素。
理想的交： 令I和J是环R的两个理想，则I∩J是R的理想，称为I和J的交，是同时包含在I和J中的最大的理想。
证明： I∩J显然是R的子群，因而是交换群。对∀r∈R，有r(I∩J)⊂rI⊂I，r(I∩J)⊂rJ⊂J，因此r(I∩J)⊂I∩J，从而I∩J是R的理想。若A是同时包含在I和J中的理想，即A⊂I且A⊂J，则A⊂I∩J，因此I∩J是同时包含在I和J中的最大的理想。
理想的积： 令I和J是环R的两个理想，则IJ={有限和i∑aibi∣ai∈I,bi∈J}是R的理想，称为I和J的积，理想的积满足交换律，且IJ⊂I∩J。
证明： 根据IJ定义可知IJ是R的加法子群。对∀r∈R,c=i∑aibi∈IJ，rc=i∑raibi=i∑(rai)bi∈IJ，因此IJ是R的理想，由aibi∈I∩J，知c∈I∩J，因此IJ⊂I∩J。理想的积显然满足交换律。
（注：由数学归纳法容易得到，任意有限多个理想的交、积也是理想，任意多个（可以为无限，此时，其元素为有限个理想中的元素的和）理想的和也是理想）
理想的商： 令I和J是环R的两个理想，则(I:J)={a∈R∣aJ⊂I}是R的理想，称为I与J的商。
证明： 对∀a,b∈(I:J)，有aJ⊂I,bJ⊂I，因此(a+b)J=aJ+bJ⊂I，从而a+b∈(I:J)。−aJ⊂I显然成立，因此−a∈(I:J)。0∈(I:J)显然成立，因此(I:J)构成R的加法子群。对∀r∈R，(ra)J=a(rJ)=aJ⊂I，因此ra∈(I:J)，从而(I:J)是理想。
（注：如果理想I=(a)是R的主理想，J是R的理想，则(I:J)=((a):J)可以记为(a:J)，(J:I)=(J:(a))可以记为(J:a)。如果J=(b)也是主理想，则(I:J)=((a):(b))可记为(a:b)）
零化理想： 令J是R的理想，则(0:J)={a∈R∣aJ=0}={a∈R∣ab=0,∀b∈B}，称为J的零化理想，记为Ann(J).
（注：如果理想I=(a)是R的主理想，则(0:I)=(0:(a))=(0:a)可以记为Ann(a)）
理想的限制： 令f:A→B是A到B的环同态，J是B的理想，则f−1(J)={a∈A∣f(a)∈J}是A的理想，称为J（通过同态f）在A中的限制理想，记为Jc.
证明： 对∀a,b∈Jc，f(a+b)=f(a)+f(b)∈J，因此a+b∈Jc. 对∀r∈A，f(ra)=f(r)f(a)∈J，因此ra∈Jc.由此易得Jc是A的理想。
理想的扩张： 令f:A→B是A到B的环同态，I是A的理想，则f(I)={f(a)∣a∈I}不一定是B的理想。B的由f(I)生成的理想f(I)B={有限和i∑f(ai)bi∣ai∈I,bi∈B}，称为I（通过同态f）在B中的扩张理想，记为Ie.
例： 包含映射i:Z→Q (k↦k, ∀k∈Z)是整数环到有理数环的同态。在Q中21i(1)=21⋅1∈/i(Z)，因此i(Z)不是Q的理想。
（注：理想的限制与扩张是与同态映射相关的，不同的同态映射对应的理想的限制与扩张可能不同）
素理想与极大理想
素理想： 令P是环R的理想，满足
(1) P是真理想，即P=R；
(2) 对∀a,b∈R，若ab∈P，则a∈P或b∈P，
则称P为R的素理想。
极大理想： 令M是环R的理想，满足
(1) M是真理想，即M=R；
(2) 若I是R的理想且M⊂I，则I=M或I=R，
则称M为R的素理想。
定理１： 令R是环，则
(1) P是R的素理想⟺ R/P是整环；
(2) M是R的极大理想⟺ R/M是域；
(3) 极大理想是素理想。
证明： P是R的素理想⟺ ∀a,b∈R，若ab∈P，则a∈P或b∈P ⟺ ∀a,b∈R/P，若ab=0，则a=0或b=0 ⟺ R/P是整环。
M是R的极大理想⟺ ∀a∈/M，(a)+M=R ⟺ ∃m∈M,r∈R，使得ra+m=1 ⟺ ∀a∈R/M且a=0，∃r∈R/M，使得ra=1 ⟺ R/M是域。
令R是域，对∀a∈R且a=0，若∃b∈R使得ab=0，则b=a−1ab=a−10=0，因此R没有非零零因子，即R是整环。根据(1)和(2)的结论可知，极大理想是素理想。
定理２： 任意环都具有极大理想。
证明： 令R是环，Σ={P∣P是R的理想}是以R的所有理想为元素的集合，在其上定义偏序关系为集合的包含关系⊂，则Σ构成一个偏序集合。令{Pi}是Σ中的全序子集，P=i⋃Pi。则对∀a,b∈P，∃Pi,Pj使得a∈Pi，b∈Pj，不妨令Pi⊂Pj，则a±b∈Pj⊂P且∀r∈R,ra∈Pi⊂P，因此P是R的理想，从而P是{Pi}的上界。根据Zorn引理，Σ有极大元，即R有极大理想。
大根与小根
根理想： 令I是环R的理想，定义集合I={a∈R∣∃n∈N+,使得an∈I}，则I也是R的理想，称为I的根理想。
证明： 显然I∈I。对∀a,b∈I，则∃m,n∈N+，使得am∈I，bn∈I。考虑(a±b)m+n，将其进行二项式展开，可知每项都属于I，即(a±b)m+n∈I，从而a±b∈I，因此I构成加法阿贝尔群。对∀r∈R，(ra)m∈I，因此ra∈I。综上，I是R的理想。
定理３： 令I是环R的理想，I的根理想I等于所有包含I的素理想的交。
证明： 对∀a∈I，∃n∈N+，使得an∈I。因此，对任意包含I的素理想P，有an∈P，从而a∈P，因此I是所有包含I的素理想的交的子集。同时，对∀a∈/I，只要找到一个包含I的素理想P，使a∈/P，上述定理即可得证。令
Σ={J是R的包含I的理想∣∀n∈N+,an∈/J}
其中a∈/I. 在Σ上定义偏序关系为集合的包含关系⊂，根据Zorn引理，Σ存在极大元P。现证P是素理想。令x,y是R中不同的两个元素，若x∈/P且y∈/P，则∃n,m∈N+，使得an∈(x)+P，am∈(y)+P，从而an+m∈(xy)+P，即xy∈/P. 综上，定理得证。
大根与小根： 在环R中，0是0理想的根理想，是所有幂零元素的集合，也是环R中所有素理想的交，记为N(R)，称为幂零根，也称为小根。相应地，R中所有极大理想的交记为r(R)，称为Jacobson根，也称为大根。
定理４： 令R是环，则r(R)={x∈R∣1−xR⊂U(R)}，其中U(R)为R中所有可逆元构成的集合。
证明： 对∀x∈/r(R)，存在极大理想M，使得(x)+M=R，从而∃y∈R,m∈M，使得xy+m=1，即1−xy=m。显然有m∈/U(R)，因此x∈/{x∈R∣1−xR⊂U(R)}。同时，对∀x∈/{x∈R∣1−xR⊂U(R)}，∃y,m∈R，使得1−xy=m∈/U(R)，因此x不属于包含m的极大理想，由此x∈/r(R)。综上，定理得证。
