青训营X豆包MarsCode 技术训练营第五篇——拨号器（题解与总结）｜豆包MarsCode AI 刷题该算法使用动

学习方法与心得：动态规划在算法中的应用（拨号器）

在学习算法时，动态规划（DP）是一个非常重要的工具，特别是面对状态转移问题时。在这道“骑士跳跃电话号码”问题中，我们利用动态规划来处理多种可能的跳跃路径，并通过逐步积累结果来求解最终的答案。这不仅是对算法思想的深入理解，也是对动态规划技巧的实际应用。

题目描述

小F正在使用一个骑士跳跃方式的拨号器。这个拨号器是一个类似电话键盘的 3x4 矩阵，每个数字对应一个单元格，骑士只能站在蓝色数字单元格上进行跳跃（数字 1 到 9 和 0）。骑士的移动方式和国际象棋中的马相同：它可以垂直移动两个单元格并水平移动一个单元格，或水平移动两个单元格并垂直移动一个单元格，形成 "L" 形。

123

456

789

*0#

给定一个整数 n，你需要帮助小F计算骑士可以拨出的所有长度为 n 的不同电话号码的数量。骑士可以从任何数字开始，并在 n-1 次有效跳跃后得到一个有效号码。答案可能非常大，因此你需要返回对 10^9 + 7 取模的结果。

测试样例

样例1：

输入：n = 1 输出：10

样例2：

输入：n = 2 输出：20

样例3：

输入：n = 3 输出：46

样例4：

输入：n = 4 输出：104

题目分析与思路

本题的核心是模拟骑士（马）在数字键盘上的跳跃路径，每个数字都可以通过骑士跳跃规则跳到其他数字。我们需要通过动态规划来记录长度为 ( n ) 的所有可能电话号码，最终求出结果。

跳跃规则映射：首先需要明确骑士从每个数字跳到哪些数字。我们可以利用字典或映射数组来表示这些跳跃规则。
动态规划表设计：我们使用一个二维数组 dp[i][j] 来表示长度为 ( i+1 ) 的电话号码，以数字 j 结尾的数量。动态规划的状态转移非常直观，每次根据当前数字的跳跃规则更新下一步的电话号码数量。
最终结果：通过遍历所有可能的终点，得到长度为 ( n ) 的电话号码数量。

完整代码如下

def solution(n: int) -> int:
    MOD = 10**9 + 7
    
    # 定义骑士可以跳跃的规则
    jumps = {
        1: [6, 8],
        2: [7, 9],
        3: [4, 8],
        4: [3, 9, 0],
        5: [],  # 5 不能跳到任何其他数字
        6: [1, 7, 0],
        7: [2, 6],
        8: [1, 3],
        9: [2, 4],
        0: [4, 6]
    }
    
    # 初始化 dp 数组
    dp = [[0] * 10 for _ in range(n)]
    
    # 初始状态：第 0 次跳跃时，每个数字都可以作为起点
    for i in range(10):
        dp[0][i] = 1
    
    # 状态转移
    for i in range(n - 1):
        for j in range(10):
            if dp[i][j] > 0:
                for next_digit in jumps[j]:
                    dp[i + 1][next_digit] = (dp[i + 1][next_digit] + dp[i][j]) % MOD
    
    # 计算最终结果
    result = sum(dp[n - 1]) % MOD
    return result

if __name__ == '__main__':
    print(solution(1) == 10)
    print(solution(2) == 20)
    print(solution(3) == 46)
    print(solution(4) == 104)

代码详解

1. 跳跃规则映射

jumps = {
    1: [6, 8],
    2: [7, 9],
    3: [4, 8],
    4: [3, 9, 0],
    5: [],  # 5 不能跳到任何其他数字
    6: [1, 7, 0],
    7: [2, 6],
    8: [1, 3],
    9: [2, 4],
    0: [4, 6]
}

这个字典定义了每个数字的跳跃目标。例如，数字 1 可以跳跃到 6 和 8，而数字 5 没有有效的跳跃路径。

2. 动态规划数组

dp = [[0] * 10 for _ in range(n)]

我们初始化一个二维数组 dp，dp[i][j] 表示长度为 ( i+1 ) 的电话号码以数字 j 结尾的数量。最初，所有的值为 0。

3. 初始化状态

for i in range(10):
    dp[0][i] = 1

长度为 1 的电话号码，每个数字都可以作为独立的电话号码。因此，我们初始化第一行，所有数字的数量为 1。

4. 状态转移

for i in range(n - 1):
    for j in range(10):
        if dp[i][j] > 0:
            for next_digit in jumps[j]:
                dp[i + 1][next_digit] = (dp[i + 1][next_digit] + dp[i][j]) % MOD

这里的状态转移是核心。对于每个长度为 ( i+1 ) 的电话号码，以数字 j 结尾，我们通过跳跃规则将结果转移到长度为 ( i+2 ) 的电话号码中。每次转移时，我们都考虑当前 dp[i][j] 的数量，并加到 dp[i + 1][next_digit] 中。

5. 最终结果

result = sum(dp[n - 1]) % MOD

最终，我们通过累加 dp[n-1] 中所有数字的值，得到长度为 ( n ) 的电话号码数量。

动态规划的关键是明确如何定义状态和状态转移关系，并通过递推逐步求解问题。
本题展示了如何结合数字跳跃规则来处理状态转移，通过动态规划高效地计算电话号码的数量。

关于本题的时间复杂度与优化

时间复杂度为 ( O(30n) )，因为每个 dp[i][j] 的状态转移最多涉及到 3 个跳跃目标（数字 j 的跳跃集合的最大长度）。因此，总体时间复杂度为 ( O(30n) )，可以认为是 ( O(n) ) 级别，非常高效。
空间复杂度是 ( O(10n) )，即 ( O(n) )，这对于大多数问题规模来说是非常可接受的。

知识总结与学习建议

在这道题目中，几个关键点和技巧是：

1. 动态规划（Dynamic Programming, DP）

定义：动态规划是一种通过将问题分解为子问题来求解的算法设计方法，适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
核心思想：通过保存子问题的解（通常是存储在数组或表格中），避免重复计算，从而提高效率。

在此题中的应用：

使用 dp[i][j] 表示长度为 ( i+1 ) 的电话号码以数字 j 结尾的数量。
基于跳跃规则，状态从前一个数字的状态转移到当前数字的状态。
通过逐步积累结果，最终得到所求的电话号码数量。

2. 状态转移与递推关系

状态定义：我们定义 dp[i][j] 为长度为 ( i+1 ) 的电话号码以数字 j 结尾的数量。
转移方程：通过当前数字的跳跃规则更新到下一状态。例如，从数字 j 跳跃到其所有可能的目标数字，将 dp[i][j] 的数量加到 dp[i+1][next_digit] 中。
初始化：初始化 dp[0][i] = 1，表示长度为 1 的电话号码可以直接由任何数字开始。

关键点：

边界条件：初始化时，长度为 1 的电话号码可以是任意数字（0-9），因此 dp[0][i] = 1。
递推关系：通过跳跃规则，将上一状态的结果累加到当前状态。

3. 跳跃规则

本题中，跳跃规则是固定的，每个数字可以跳跃到其他特定数字。比如：
- 数字 1 可以跳跃到数字 6 和 8，数字 2 可以跳跃到数字 7 和 9，等等。
这要求我们在动态规划转移时，考虑每个数字的跳跃目标，逐步扩展电话号码的可能性。

4. 时间和空间复杂度

时间复杂度：由于每个 dp[i][j] 的状态转移最多涉及到 3 个跳跃目标（每个数字的跳跃目标数量最多为 3），因此总体时间复杂度是 ( O(30n) )，可以认为是 ( O(n) )，适合处理较大规模的问题。
空间复杂度：使用一个二维数组 dp 存储所有长度为 ( n ) 的电话号码的中间结果。空间复杂度为 ( O(10n) )，即 ( O(n) )，其中 10 是数字的个数。

5. 模运算（Modulo Operation）

目的：由于电话号码数量可能非常大，需要对结果进行模运算，避免溢出。
操作：在每次更新 dp[i + 1][next_digit] 时，使用模运算：dp[i + 1][next_digit] = (dp[i + 1][next_digit] + dp[i][j]) % MOD，确保计算结果保持在一个合理的范围内。

6. 动态规划的优化

空间优化：本题的状态转移只依赖于前一行，因此可以用两个一维数组代替二维数组，节省空间。
技巧：如果题目允许，可以尝试将原本的二维数组 dp 进一步优化为滚动数组（rolling array）结构，减少空间复杂度。

高效学习方法

在刷题时，可以结合以下方法提高学习效率：

逐步练习：先从简单的 DP 问题入手，逐渐增加题目的难度。理解每个题目的核心思想，尤其是如何设计状态转移方程和递推公式。
总结归纳：每次解决一个 DP 问题后，尝试总结出适用的模板或常见的状态转移模式，帮助自己在类似题目中快速应用。
错题重练：对于做错的题目，花时间理解错因，并通过回顾题目分析加深理解。可以利用错题本或在线平台的错题集进行针对性复习。

工具运用

结合豆包MarsCode AI 刷题的功能，可以帮助我们：

生成多样化的题目：通过AI生成不同难度的动态规划题目，并逐步提高难度，帮助我们在掌握基础后更好地挑战复杂问题。
错误反馈与优化：AI能够自动检测我们的错误并给出反馈，帮助我们发现漏洞或不合理的设计，从而加速学习进程。
与其他资源结合：通过与在线教程、博客、书籍等资源结合，进一步拓展对动态规划的理解，不仅限于题目本身。

这道题目是通过动态规划解决路径问题的经典例子，它能够帮助我们提高解题思路和技巧，特别是对于复杂的状态转移问题。在学习过程中，我们可以针对此类题进行重点研究。

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