题解-构造数组的最小和

题目描述

小C希望构造一个包含 n 个元素的数组，且满足以下条件：

1. 数组中的所有元素两两不同。
2. 数组所有元素的最大公约数为 k。
3. 数组元素之和尽可能小。

任务是输出该数组元素之和的最小值。

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测试样例

样例 1：

输入：

n = 3, k = 1

输出：

6

样例 2：

输入：

n = 2, k = 2

输出：

6

样例 3：

输入：

n = 4, k = 3

输出：

30

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解题思路

条件分析

1. 元素两两不同：
   需要构造一个数组，其中的所有元素都是不同的，这要求我们不能重复使用相同的数。

2. 最大公约数为 k：
   数组中所有元素都需要是 k 的倍数。因此，我们可以直接从 k 的倍数中选择数组元素。

3. 和尽可能小：
   为了使数组元素之和最小，我们需要尽量选择最小的 k 的倍数组成数组。这意味着数组的前 n 个元素应为：

   元素=k,2k,3k,…,nk\text{元素} = k, 2k, 3k, \ldots, nk

解题步骤

1. 生成 k 的倍数：
   按从小到大的顺序生成 k 的倍数，依次取 k, 2k, 3k, ..., nk。

2. 计算元素之和：
   通过数学公式求和，前 n 个 k 的倍数之和为：

   S=k×(1+2+⋯+n)=k×n×(n+1)2S = k \times (1 + 2 + \cdots + n) = k \times \frac{n \times (n + 1)}{2}

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代码实现

以下是基于上述思路的 Python 实现：

def solution(n: int, k: int) -> int:
    # 数组和的最小值通过公式直接计算
    return k * n * (n + 1) // 2

# 测试用例
if __name__ == '__main__':
    print(solution(n=3, k=1))  # 输出：6
    print(solution(n=2, k=2))  # 输出：6
    print(solution(n=4, k=3))  # 输出：30

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代码解释

1. 公式计算：

   • k * n * (n + 1) // 2：计算前 n 个 k 的倍数之和。

2. 简化实现：

   • 不需要显式构造数组，通过数学公式直接得到最优解，减少了代码复杂性和运行时间。

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测试分析

通过以下测试样例验证代码的正确性：

输入	输出	解释
n=3, k=1	6	最小数组为 [1, 2, 3]
n=2, k=2	6	最小数组为 [2, 4]
n=4, k=3	30	最小数组为 [3, 6, 9, 12]

边界情况

1. n=1, k=1:

   • 输出 1，最小数组为 [1]。

2. n=1, k=100:

   • 输出 100，最小数组为 [100]。

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总结

• 本题通过观察和公式计算简化了实现，避免了复杂的数组操作。
• 时间复杂度为 O(1)，非常的高效。