小S的最小化数组分数问题
一、问题分析
小S有一个整数数组 nums 和一个整数 k，他可以对数组中的每个元素 nums[i] 进行调整，每次调整可以选择增加 k 或减少 k，即 nums[i] + k 或 nums[i] - k。经过这些操作后，数组的分数定义为调整后的数组中最大值与最小值的差值。问题的目标是通过对数组进行合适的调整，使得最终的分数尽可能小。
从问题本质来看，数组的分数完全由其最大值和最小值决定。调整的关键在于尽可能缩小这两个值之间的差距，同时保证操作覆盖数组中的每个元素。这种调整具有多种可能性，因此暴力枚举所有情况显然不可行。我们需要找到一种高效的方法，在有限的计算时间内找到最优的调整方案。
二、思路解析
为了简化问题并找到最优解，我们可以先对数组 nums 进行升序排序。排序后的数组从小到大排列，使得最大值和最小值的位置固定为数组的两端，即 nums[0] 为最小值，nums[-1] 为最大值。这种排列方式使得调整的目标变得更加明确，即通过对数组进行合理分割，使一部分元素尽量增加，另一部分元素尽量减少，从而最大限度地缩小两端差距。
初始情况下，数组的分数为未调整时的最大值与最小值的差，即 nums[-1] - nums[0]。这个值是未调整时的结果，也是后续优化的起点。在调整过程中，我们可以选择将数组分为两部分，前一部分的元素统一增加 k，后一部分的元素统一减少 k。调整后，数组的最大值和最小值分别可能来自两部分的极端情况：最大值为 max(nums[i] + k, nums[-1] - k)，最小值为 min(nums[0] + k, nums[i + 1] - k)。通过枚举分割点，将上述公式应用于所有可能的分割情况，我们可以找到最优的调整方案。
在计算过程中，我们动态更新最小分数的值。通过比较每种分割方式下的最大值与最小值的差，保留最小的结果作为最终答案。由于数组经过排序，最大值和最小值的计算仅涉及局部元素，因此整个过程可以高效完成。最终，我们返回计算出的最小分数，确保结果为非负值。
三、代码详解
def solution(nums: list, k: int) -> int:
# 对数组进行排序
nums.sort()
n = len(nums)
# 初始化最小分数为未调整时的最大值与最小值的差
ans = nums[-1] - nums[0]
# 遍历所有分割点
for i in range(n - 1):
# 计算分割后数组的最大值和最小值
high = max(nums[i] + k, nums[-1] - k)
low = min(nums[0] + k, nums[i + 1] - k)
# 更新最小分数
ans = min(ans, high - low)
# 返回最终结果
return ans if ans >= 0 else 0
这段代码的核心逻辑是通过以下步骤实现问题的高效解决：首先，对数组 nums 进行排序，以固定元素的排列顺序，确保在后续处理时最大值和最小值始终位于明确的位置（排序后的两端）。排序的作用不仅是简化逻辑，还能帮助我们快速找到调整后的可能极值范围。对于一个经过排序的数组，调整后最大值和最小值的候选值范围会显著缩小，从而避免对每个可能的组合逐一计算。
在排序完成后，代码通过遍历数组中的分割点（索引 i）来动态调整可能的最大值和最小值范围。对于每个分割点，数组被分成两部分：前 i+1 个元素尝试通过增加 k 来缩小范围，而后续元素通过减少 k 来优化极值。这种分割方式确保了不同调整策略的充分尝试，同时将问题复杂度限制在合理范围内。
具体而言，在每个分割点下，通过计算增加 k 和减少 k 后的可能最大值 high 和最小值 low，我们能够快速确定调整后的分数，即 high - low。每次计算后，更新当前的最小分数，从而动态追踪最优结果。最终，代码输出遍历过程中找到的最小分数，这一结果代表了所有调整方式中最优的情况。这种方法不仅逻辑清晰，而且在时间复杂度上实现了从暴力求解到高效算法的转变，使其适用于更大规模的输入数据。
四、总结
通过排序和分割的策略，该算法有效地解决了数组分数最小化问题。排序后的数组通过分割点的枚举，将全局问题简化为局部问题，每次只需计算两端的极值。最终，通过动态更新最小分数的值，能够快速找到最优解。这种方法避免了暴力穷举的高时间复杂度，同时在逻辑上清晰易懂，是处理类似问题的高效方案。
