315K排序算法最小操作次数计算困难 | 豆包MarsCode AI刷题题意分析给定一个长度为 n 的排列 a 和一

题意分析

给定一个长度为 n 的排列 a 和一个整数 k。我们可以进行以下操作：

每次操作选择最多 k 个位置的数，将它们移除，并且剩余的数左对齐。
移除的数进行排序并将其放在数列的末尾。

要求你通过最少的操作次数，将排列 a 按升序排列。

我们的目标是计算出最少需要多少次操作。

思路详解

这个问题可以通过以下几个步骤来解决：

观察排列的有序部分：
- 为了尽可能减少操作次数，我们应当识别出排列中已经是按升序排列的部分。
- 假设我们能找到一个最长的升序子序列（从排列开始到某一位置），那么剩下的元素就是需要通过操作来处理的部分。
关键点：找到排列中的连续递增子序列：
- 从排列的第一个元素开始，依次检查当前元素是否正好是期望值。如果当前元素正好是期望值，则可以继续，表示该元素已经处于正确位置。
- 期望值从 1 开始，依次增加，直到最后。如果某个元素不等于期望值，那么我们就认为后续的元素需要进行操作。
计算剩余需要操作的元素数量：
- 一旦我们找到了最长的升序前缀，即那些已经处于正确位置的元素，剩下的元素需要通过 k 个一组的操作来完成。
- 例如，如果剩余的元素有 m 个，而每次操作可以移除 k 个元素，那么至少需要 (m + k - 1) // k 次操作来处理这些剩余的元素。
总结：
- 我们的目标是找到 最长升序前缀，然后计算剩余需要排序的部分，最后通过计算需要的操作次数来得到答案。

代码实现

根据上面的思路，我们可以编写如下代码：

python
复制代码
def solution(n: int, k: int, a: list) -> int:
    i = 1  # 期望值，从 1 开始
    # 遍历排列 a，找出最长升序前缀
    for x in a:
        if x == i:  # 如果当前元素与期望值匹配，则期望值加 1
            i += 1
    # 计算剩余元素的数量
    last = n - i + 1
    # 计算需要的操作次数，每次操作最多移除 k 个元素
    return (last + k - 1) // k

代码分析

1. 初始化变量

python
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i = 1

变量 i 表示当前期望的数字，初始值为 1，因为我们要求按升序排列，期望数字从 1 开始逐步递增。

2. 遍历数组

python
复制代码
for x in a:
    if x == i:
        i += 1

通过遍历排列 a 中的每个元素 x，我们检查它是否等于期望值 i。如果相等，说明 x 已经在正确的位置上，可以增加 i，期望下一个元素出现在当前位置。

如果 x 等于 i，则 i 加 1，表示下一个位置应放置数字 i+1。
该过程的目的是找到排列中的最大升序前缀部分。

3. 计算剩余元素

python
复制代码
last = n - i + 1

在循环结束后，i 将会是下一个期望值。此时，i - 1 就是排列中最大连续升序部分的长度。所以，剩余的元素数量为 n - (i - 1)，即 last = n - i + 1。

4. 计算操作次数

python
复制代码
return (last + k - 1) // k

剩余的 last 个元素需要通过操作来移除并排序。由于每次操作最多可以移除 k 个元素，因此最少需要的操作次数为 (last + k - 1) // k，这是 向上取整 的方式，确保即使剩余的元素不足 k 个，也会进行额外的操作。

时间复杂度分析

遍历数组 a 需要 O(n) 的时间，因为我们只需要一次遍历来计算出最长升序前缀。
计算剩余元素数量和操作次数的步骤都是常数时间操作 O(1) 。

因此，整个算法的时间复杂度为 O(n) 。

空间复杂度分析

该算法只使用了少量的额外空间来存储变量（例如 i 和 last）。
因此，空间复杂度为 O(1) ，即常数空间。

示例分析

让我们通过一些示例来验证该算法的正确性。

示例 1

输入：

python
复制代码
n = 11
k = 1
a = [5, 1, 8, 3, 6, 2, 10, 9, 11, 4, 7]

执行过程：

初始 i = 1
遍历数组 a，发现 1 位置正确，i 变为 2，然后找到 2，i 变为 3，依此类推，直到 i = 6，即最长升序前缀是 [1, 2, 3, 4, 5]。
剩余元素为 n - 5 = 6 个。
每次操作最多移除 1 个元素，所以需要的操作次数为 (6 + 1 - 1) // 1 = 6 次。

输出：

python
复制代码
6

示例 2

输入：

python
复制代码
n = 12
k = 1
a = [5, 9, 12, 3, 8, 4, 6, 1, 7, 2, 11, 10]