刷题笔记-好排列的数量计算 | 豆包MarsCode AI刷题

最近在刷题时遇到了一个有趣的排列问题，称为“好排列”。题目要求计算长度为 $n$ 的好排列的数量，其中好排列的定义是相邻的两个数的乘积均为偶数。由于结果可能很大，需要对 $10^9 + 7$ 取模。

解题思路

首先，我们需要理解什么情况下相邻两个数的乘积为偶数。只有当至少有一个数为偶数时，乘积才会是偶数。因此，要使所有相邻的数的乘积均为偶数，我们需要确保不存在两个奇数相邻的情况。

换句话说，我们需要将所有的奇数安排在排列中，使得它们之间至少隔一个偶数。基于这个思路，我们可以将问题转化为：

1. 计算有多少种方法将奇数和偶数安排，使得没有两个奇数相邻。
2. 分别排列奇数和偶数的顺序。

算法设计

1. 统计奇数和偶数的数量

• 计算奇数的数量 $n_o = \left\lceil \dfrac{n}{2} \right\rceil$。
• 计算偶数的数量 $n_e = \left\lfloor \dfrac{n}{2} \right\rfloor$。

2. 判断可行性

如果奇数的数量超过了偶数数量加一，即 $n_o > n_e + 1$，那么无论如何排列，都无法避免两个奇数相邻的情况，此时答案为 0。

3. 计算排列方式

(a) 安排奇数的位置

我们有 $n_e + 1$ 个空位可供奇数放置（在偶数之间以及两端）。我们需要从中选择 $n_o$ 个位置放置奇数。方法数为组合数 $C(n_e + 1, n_o)$。

(b) 排列奇数和偶数的顺序

• 奇数可以有 $n_o!$ 种排列方式。
• 偶数可以有 $n_e!$ 种排列方式。

(c) 总的排列数

总的排列方式数为：

4. 模运算和逆元计算

由于需要对 $10^9 + 7$ 取模，并且涉及到组合数和阶乘的计算，我们需要预处理阶乘和逆元，以高效计算组合数。

• 预处理阶乘 $\text{fact}[i] = i! \mod (10^9 + 7)$。
• 计算阶乘的逆元 $\text{inv\_fact}[i]$，利用费马小定理 $a^{p-2} \mod p$。

代码实现

def solution(n: int) -> int:
    mod = 10 ** 9 + 7
    n_o = (n + 1) // 2  # 奇数的数量
    n_e = n // 2        # 偶数的数量
    if n_o > n_e + 1:
        return 0

    max_n = n_e + n_o
    fact = [1] * (max_n + 1)
    inv_fact = [1] * (max_n + 1)
    for i in range(1, max_n + 1):
        fact[i] = fact[i - 1] * i % mod
    inv_fact[max_n] = pow(fact[max_n], mod - 2, mod)
    for i in range(max_n - 1, -1, -1):
        inv_fact[i] = inv_fact[i + 1] * (i + 1) % mod

    def comb(n, k):
        if k < 0 or k > n:
            return 0
        return fact[n] * inv_fact[k] % mod * inv_fact[n - k] % mod

    ways = comb(n_e + 1, n_o)
    ways = ways * fact[n_o] % mod
    ways = ways * fact[n_e] % mod
    return ways % mod

感悟

这道题考查了对排列组合的理解以及对模运算的掌握。在解决过程中，我体会到以下几点：

1. 转化问题的能力：原始问题看似复杂，但通过分析，我们将其转化为避免奇数相邻的问题，大大简化了思考难度。

2. 数学模型的建立：利用组合数学来计算位置安排和元素排列，使得问题有了明确的计算方法。

3. 算法的优化：由于涉及大量的阶乘和组合数计算，直接计算会导致时间和空间复杂度过高。通过预处理阶乘和逆元，利用模运算性质，优化了计算效率。

4. 细心和耐心：在处理边界条件和特殊情况（如奇数数量过多）时，需要仔细分析，避免出错。