问题描述
小C希望构造一个包含 n 个元素的数组，且满足以下条件：
- 数组中的所有元素两两不同。
- 数组所有元素的最大公约数为
k。 - 数组元素之和尽可能小。
任务是输出该数组元素之和的最小值。
思路解析
为了满足这些条件，我们可以从以下几个方面入手：
- 元素两两不同：数组中的元素必须是不同的整数。
- 最大公约数为 k：我们可以将所有的数组元素看作是
k的倍数，因此数组中的元素应该是k的倍数。 - 最小和：要使得数组元素之和尽可能小，那么数组中的每个元素应该尽量小，且保证是不同的
k的倍数。
基于以上分析，我们可以得出构造方案：
- 数组中的元素可以是：
k * 1, k * 2, k * 3, ..., k * n。 - 这会确保元素是
k的倍数，且它们两两不同。
数组构造方法
- 数组的元素可以选择为：
k * 1, k * 2, ..., k * n。 - 这样，数组的元素不仅满足是
k的倍数，且元素两两不同，最大公约数为k。 - 数组元素之和为：
k * (1 + 2 + 3 + ... + n)。通过等差数列求和公式，和为：k * (n * (n + 1) / 2)。
最终答案
因此，数组元素的和的最小值就是：k * (n * (n + 1) / 2)。
示例分析
示例 1：
输入：n = 3, k = 1
输出：6
- 元素可以是
1, 2, 3，它们的和为1 + 2 + 3 = 6，符合条件。
示例 2：
输入：n = 2, k = 2
输出：6
- 元素可以是
2, 4，它们的和为2 + 4 = 6，符合条件。
示例 3：
输入：n = 4, k = 3
输出：30
- 元素可以是
3, 6, 9, 12，它们的和为3 + 6 + 9 + 12 = 30，符合条件。
方法论
解决这个问题不仅仅是代码的实现，更多的是在理解问题的基础上，从数学角度和优化角度来分析如何构造数组和优化元素和。下面我将从多个方面阐述思路，以更全面地理解问题的解法。
1. 题意解读与约束分析
题目要求构造一个包含 n 个元素的数组，数组需要满足以下三个条件：
- 元素两两不同：意味着数组中的所有元素是唯一的，不重复。
- 最大公约数为 k：数组所有元素的最大公约数必须是
k，这意味着所有元素必须是k的倍数。如果元素是k * m（m为正整数），那么它们的最大公约数为k，因为gcd(k * m1, k * m2) = k * gcd(m1, m2)，要保证最大公约数是k，m1, m2, ...的最大公约数必须为 1。 - 元素之和尽可能小：我们需要构造一个元素之和最小的数组，这就要求我们在保证上述条件的同时，尽量选择较小的整数。
2. 从数学角度分析
考虑到最大公约数为 k，我们可以对问题进行数学建模：
- 如果数组的元素是
k的倍数，那么我们可以从以下的k倍数中选取元素：k * 1, k * 2, k * 3, ..., k * n。 - 这些元素保证了最大公约数为
k，且它们两两不同。
为什么选 k * 1, k * 2, ..., k * n？
- 这是因为
k * 1, k * 2, ..., k * n不仅是k的倍数，而且它们的最大公约数为k（gcd(k * i, k * j) = k * gcd(i, j)，i != j时，gcd(i, j) = 1）。 - 由于我们选的是最小的
k的倍数，它们能够确保数组的和尽可能小，符合题目要求。
3. 数学公式推导
数组的元素为 k * 1, k * 2, k * 3, ..., k * n，因此它们的和为：
这就是一个等差数列求和问题，等差数列求和公式为：
因此，数组元素之和的最小值为：
这个公式不仅简单明了，而且能迅速计算出结果，避免了复杂的循环和多次加法操作。
4. 如何构造数组
从上述分析中，我们已经确定了数组元素的形式：k * 1, k * 2, k * 3, ..., k * n。这些元素是最小的 k 的倍数，同时保证了最大公约数为 k，并且它们两两不同。
构造数组时，实际上我们不需要做额外的操作，只需按照上面的模式生成数组即可。
5. 时间复杂度与空间复杂度
-
时间复杂度：由于只需要根据
n计算等差数列的和，时间复杂度为O(1)。计算和不涉及复杂的循环或者递归，直接使用公式即可。 -
空间复杂度：只需要存储一个整数值（和的结果），因此空间复杂度为
O(1)。
6. 边界情况与特殊情况
-
n = 1：当
n = 1时，数组只有一个元素，元素必须是k，此时最小和为k。 -
k = 1：当
k = 1时，元素就是 1, 2, 3, ..., n，数组和的最小值为1 + 2 + 3 + ... + n，即n * (n + 1) / 2。 -
大
n和k的情况：对于大n和k，公式仍然适用，而且由于我们只是做了常数时间的计算，因此即使n或k很大，程序的执行时间也不会受到影响。
7. 总结
通过构造 k * 1, k * 2, ..., k * n 这样的数组，我们不仅能够满足最大公约数为 k 和元素两两不同的要求，还能够通过公式直接计算出元素之和的最小值，从而确保解法既简单又高效。这个方法依赖于数学公式的推导，避免了复杂的循环和暴力搜索，因此能够在最短的时间内给出正确的结果。
代码实现
def min_sum(n, k):
# 计算从 1 到 n 的和
sum_n = n * (n + 1) // 2
# 最小和是 k 乘以上述和
return k * sum_n
# 测试示例
print(min_sum(3, 1)) # 输出 6
print(min_sum(2, 2)) # 输出 6
print(min_sum(4, 3)) # 输出 30
通过这种方法论的分析，我们不仅解决了问题，还从根本上理解了如何将数学推导与实际编程结合起来，从而得到一个高效且简洁的解法。
结论
通过构造元素为 k * 1, k * 2, ..., k * n 的数组，可以确保满足最大公约数为 k，且元素两两不同，最终得到的数组元素和最小，符合题目要求。
