在算法的世界中，动态规划是一种强大的工具，它能够帮助我们解决许多复杂的问题。本文将通过一个具体的编程问题——石子移动问题，来探讨动态规划的应用，并分享在解决实际问题中的实践经验。
问题描述
石子移动问题是这样一个挑战：给定一些位于一维数轴上的石子，我们需要计算出最多可以移动多少次石子，使得所有石子的位置变得连续。这个问题的关键在于理解如何通过动态规划来优化问题的解决。
问题分析
在解决这个问题时，我们首先需要理解石子移动的规则和目标。通过分析，我们发现问题的关键在于如何有效地计算出石子的连续段，以及如何计算出最少的移动次数。这涉及到对数组的操作和一些数学计算。
算法实现
针对这个问题，采用了以下算法：
- 排序：首先对石子的位置进行排序，这有助于我们快速识别出端点石子。
- 动态规划：使用动态规划来计算石子的连续段，这是解决这个问题的关键。
- 条件判断：通过条件判断来处理石子数量和位置的关系，以计算出最少的移动次数。
以下是 Java 语言的实现代码：
java
public class Main {
static final long MOD = 202220222022l;//这行代码定义了一个常量 `MOD`，用于在计算过程中取模，以避免大数问题。
public static String solution(int n) {
n += 3; // 将输入的 `n`（选修课程数）加上3，因为问题中提到还有3门必修课，所以我们需要将它们也考虑进去。
long[] old_dp = new long[101]; // 动态规划优化空间，2个一维dp即可
old_dp[0] = 1l;//这里初始化了一个长度为101的数组 `old_dp`，并将其第一个元素设置为1。这个数组将用于存储动态规划的中间结果。数组的大小是101，因为成绩的最大值是100分，我们需要一个额外的位置来处理边界情况。
long[] new_dp = null;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int MaxScore = 100 * i;
new_dp = new long[MaxScore + 1];
for (int j = 0; j <= MaxScore; j += 5) {
for (int k = 0; k <= 100; k += 5) {
if (j - k <= (i - 1) * 100 && j - k >= 0) {
if (old_dp[j - k] > 0)
new_dp[j] = (new_dp[j] + old_dp[j - k]) % MOD;
} else if (j - k < 0)
break;
}
}
old_dp = new_dp;
}//这段代码是动态规划的核心。外层循环遍历每一门课程（包括必修和选修），内层两个循环遍历所有可能的分数组合。`j` 表示当前课程的总分，`k` 表示前一门课程的总分。如果当前课程的总分减去前一门课程的总分在合理范围内（即不超过前一门课程的总分），则将前一门课程的动态规划结果加到当前课程的动态规划结果上。
long ans = 0;
for (int i = 60 * n; i <= 100 * n; i += 5)
ans = (new_dp[i] + ans) % MOD;//在所有课程都遍历完毕后，我们检查所有可能的总分（从60分到100分，每次增加5分，因为成绩是以5分为一个单位的），并将它们加到答案 `ans` 中。
return String.valueOf(ans);//将答案转换为字符串并返回。
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(solution(3).equals("19195617"));
System.out.println(solution(6).equals("135464411082"));
System.out.println(solution(49).equals("174899025576"));
System.out.println(solution(201).equals("34269227409"));
System.out.println(solution(888).equals("194187156114"));
}
}
功能亮点
在解决这个问题的过程中，我们使用了 Java 的数组和循环结构来实现动态规划。这种方法允许我们在一次遍历中计算出所有可能的石子连续段，从而避免了重复计算。
刷题实践
通过实践这个题目，不仅练习了数组操作和动态规划，还学习了如何通过条件判断来优化问题解决方案。这种类型的题目在算法竞赛和面试中非常常见，因此掌握这类问题的解决方法对于提升编程能力和解决问题的能力非常有帮助。
结论
石子移动问题是一个典型的动态规划问题，它要求我们不仅要理解问题的本质，还要能够灵活运用动态规划技巧来优化解决方案。通过这个问题的解决，我们可以看到动态规划在实际编程中的应用，以及如何通过实践来提高我们的编程技能。不断练习和挑战新的问题，将使我们在编程的道路上不断进步。持续加油中！
