青训营X豆包MarsCode 技术训练营第四课_ 观光景点组合得分问题

观光景点组合得分问题

问题分析与解决

在最优化问题的研究中，组合得分问题常常出现在各种实际应用场景中。本文将深入探讨一个特定的组合得分问题，旨在揭示如何通过有效的算法找到最佳解，并分析其实现过程以及可能的应用场景。

问题描述

小R正在研究一组观光景点，每个景点都有一个评分，这些评分存储在数组 values 中，其中 values[i] 表示第 i 个景点的评分。景点之间的距离由它们的下标差 j - i 表示。我们的目标是找到一对景点 (i < j)，使得它们的组合得分最高。

组合得分的计算方式为：$\text{得分} = values[i] + values[j] + i - j$

从这个公式中，我们可以看到，组合得分不仅考虑了景点的评分，还考虑了它们之间的距离，以便在选择景点时兼顾评分和距离的影响。

示例分析

为了更清晰地理解问题，我们来看看几个具体示例：

1. 示例1:

   • 输入: values = [8, 3, 5, 5, 6]
   • 输出: 11

   在这个例子中，最佳组合是 (0, 2)，得分为 8 + 5 + 0 - 2 = 11。

2. 示例2:

   • 输入: values = [10, 4, 8, 7]
   • 输出: 16

   在这个例子中，组合 (0, 2) 的得分为 10 + 8 + 0 - 2 = 16，这是所有组合中的最高得分。

3. 示例3:

   • 输入: values = [1, 2, 3, 4, 5]
   • 输出: 8

   此时，组合 (2, 4) 的得分为 3 + 5 + 2 - 4 = 6，而 (1, 4) 的得分为 2 + 5 + 1 - 4 = 4，所以最佳得分为 8。

算法设计

思路

为了找到最佳组合得分，我们需要对数组进行遍历，记录最大得分。我们可以将得分公式转化为：

$\text{得分} = (values[i] + i) + (values[j] - j)$

结合题目的意思其实我们可以推导出一个公式就是

• $\text{得分}=(values[i]+i)-(value[j]+j)$
• 我们设 $f[n]=values[n]+n$
• 则 $\text{得分}=f[i]-f[j]$ $(i<j)$

这样，我们可以在遍历过程中维护两个变量：

• maxScore: 当前记录的最大得分。
• maxI: 当前遍历到的元素 values[j] - j 的最大值。

通过这种方式，我们只需遍历一次数组，时间复杂度为 O(n)，这在处理较大的数据集时尤为重要。

Java实现

以下是实现这一思路的 Java 代码：

public class Main {
    public static int solution(int[] values) {
        int maxScore = 0;
        int maxI = values[0]; // 初始化最大值为第一个元素的值
        
        for (int j = 1; j < values.length; j++) {
            // 更新最大得分
            maxScore = Math.max(maxScore, maxI + values[j] - j);
            // 更新maxI，即values[i] + i的最大值
            maxI = Math.max(maxI, values[j] + j);
        }

        return maxScore;
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(solution(new int[]{8, 3, 5, 5, 6}) == 11 ? 1 : 0);
        System.out.println(solution(new int[]{10, 4, 8, 7}) == 16 ? 1 : 0);
        System.out.println(solution(new int[]{1, 2, 3, 4, 5}) == 8 ? 1 : 0);
    }
}

代码解释

1. 最大得分 maxScore: 用于记录当前的最大得分。
2. 最大值 maxI: 用于记录到目前为止的 values[i] + i 的最大值。
3. 遍历数组: 从第二个元素开始，逐步更新 maxScore 和 maxI。

关键步骤在于：

• 通过 maxScore = Math.max(maxScore, maxI + values[j] - j) 更新当前的得分。
• 通过 maxI = Math.max(maxI, values[j] + j) 更新 values[i] + i 的最大值。

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$，这意味着即使在输入数组非常大的情况下，该算法也能高效运行。相较于暴力破解的 $O(n^2)$复杂度，这种优化大大提高了效率。

应用场景

这一算法不仅适用于观光景点组合得分问题，也可以扩展到其他类似的组合优化问题中。例如，在旅游规划、资源配置、活动安排等领域，我们都可以利用这种思路来优化决策过程。通过记录状态并动态更新，我们可以在更复杂的场景中实现高效的解法。

结论

通过上述分析与实现，我们成功地解决了观光景点组合得分问题。使用 O(n) 的时间复杂度，我们能够在一次遍历中找到最佳得分，展示了算法设计中的效率与简洁性。这一方法为解决其他组合优化问题提供了一个有效的思路。希望本文对理解组合得分问题有所帮助，并激发出更多的思考与实践。