最大矩形面积问题 | 豆包MarsCode AI刷题题目解析：二分数字组合小S正在分析一个数组 h_1, h_2, .

题目解析：二分数字组合

小S正在分析一个数组 h_1, h_2, ..., h_N，数组的每个元素代表某种高度。小S感兴趣的是，当我们选取任意 k 个相邻元素时，如何计算它们所能形成的最大矩形面积。

对于 k 个相邻的元素，我们定义其矩形的最大面积为：

R(k) = k * min(h[i], h[i + 1], ..., h[i + k - 1])

即，R(k) 的值为这 k 个相邻元素中的最小值乘以 k。现在，小S希望你能帮他找出对于任意 k，R(k) 的最大值。

测试样例

样例1：

输入：n = 5, array = [1, 2, 3, 4, 5] 输出：9

样例2：

输入：n = 6, array = [5, 4, 3, 2, 1, 6] 输出：9

样例3：

输入：n = 4, array = [4, 4, 4, 4] 输出：16

问题理解

给定一个数组 array，我们需要找到任意 k 个相邻元素所能形成的最大矩形面积。具体来说，对于任意 k 个相邻元素，矩形的最大面积为这 k 个元素中的最小值乘以 k。我们需要找到所有可能的 k 中，最大的矩形面积。

数据结构与算法选择

暴力解法：
- 遍历所有可能的 k（从 1 到 n）。
- 对于每个 k，遍历数组中所有可能的 k 个相邻元素，计算其矩形面积。
- 时间复杂度为 O(n^3)，效率较低。
优化解法：
- 使用单调栈（Monotonic Stack）来优化查找最小值的过程。
- 单调栈可以帮助我们在 O(n) 时间内找到每个元素作为最小值时，能形成的最大矩形面积。

算法步骤

初始化：
- 使用一个栈来存储数组元素的索引。
- 初始化 max_area 为 0，用于记录最大矩形面积。
遍历数组：
- 对于每个元素 array[i]，如果当前元素大于或等于栈顶元素对应的值，则将其索引压入栈中。
- 如果当前元素小于栈顶元素对应的值，则弹出栈顶元素，并计算以该元素为最小值的矩形面积。
- 计算面积时，宽度为当前索引 i 减去栈顶元素的索引（如果栈为空则为 i）。
处理剩余元素：
- 遍历结束后，栈中可能还有元素，依次弹出并计算以这些元素为最小值的矩形面积。
返回结果：
- 返回 max_area。

代码框架

def solution(n, array):
    stack = []
    max_area = 0
    index = 0

    while index < n:
        # If this bar is higher than the bar at stack top, push it to the stack
        if not stack or array[index] >= array[stack[-1]]:
            stack.append(index)
            index += 1
        else:
            # Pop the top
            top_of_stack = stack.pop()
            # Calculate the area with array[top_of_stack] as the smallest (or minimum height) bar
            area = (array[top_of_stack] *
                    ((index - stack[-1] - 1) if stack else index))
            # Update max area, if needed
            max_area = max(max_area, area)

    # Now pop the remaining bars from stack and calculate area
    while stack:
        top_of_stack = stack.pop()
        area = (array[top_of_stack] *
                ((index - stack[-1] - 1) if stack else index))
        max_area = max(max_area, area)

    return max_area

关键步骤解释

栈的使用：
- 栈中存储的是数组元素的索引，这样可以方便地计算矩形的宽度。
- 当遇到一个比栈顶元素小的元素时，弹出栈顶元素并计算面积。
面积计算：
- 面积的计算公式为 array[top_of_stack] * width，其中 width 是当前索引 index 减去栈顶元素的索引（如果栈为空则为 index）。
处理剩余元素：
- 遍历结束后，栈中可能还有元素，这些元素对应的矩形面积也需要计算。

通过上述步骤，我们可以在 O(n) 时间内找到最大矩形面积。

心得

当前代码展示了如何使用单调栈（Monotonic Stack）来解决最大矩形面积的问题。通过分析和学习这段代码，你可以学到以下几个重要的编程和算法概念：

1. 单调栈（Monotonic Stack）

单调栈是一种特殊的栈结构，栈中的元素保持单调递增或单调递减的顺序。在这段代码中，单调栈用于在 O(n) 时间内找到每个元素作为最小值时，能形成的最大矩形面积。

栈的基本操作：
- stack.append(index)：将元素索引压入栈中。
- stack.pop()：弹出栈顶元素。
- stack[-1]：访问栈顶元素。
单调栈的应用：
- 通过维护一个单调递增的栈，可以在常数时间内找到每个元素的下一个更小元素。
- 在弹出栈顶元素时，计算以该元素为最小值的矩形面积。

2. 时间复杂度优化

通过使用单调栈，代码将时间复杂度从 O(n^3) 优化到 O(n)，极大地提高了算法的效率。

遍历数组：
- 每个元素最多入栈和出栈一次，因此总的时间复杂度为 O(n)。

3. 边界条件处理

代码在处理边界条件时表现良好，例如当栈为空时，计算面积的宽度为当前索引 index。

边界检查：
- 在计算面积时，使用 (index - stack[-1] - 1) if stack else index 来处理栈为空的情况。

4. 代码结构与可读性

代码结构清晰，逻辑流程明确，注释详细，有助于理解和维护代码。

变量命名：
- 变量命名如 stack、max_area、index 等都很直观，有助于理解代码的逻辑。
注释：
- 代码中添加了详细的注释，解释了每一步的操作，这对于理解和维护代码非常有帮助。

5. 测试用例

代码中包含了一个测试用例，用于验证代码的正确性。通过添加更多的测试用例，可以进一步验证代码的鲁棒性。

测试用例设计：
- 通过不同的输入数据，验证代码在各种情况下的表现。

6. 代码复用性

可以将计算面积的部分提取为一个单独的函数，以提高代码的复用性和可读性。

函数提取：
- 将计算面积的逻辑提取为 calculate_area 函数，使代码更加模块化。

总结

通过学习这段代码，我可以掌握单调栈的应用、时间复杂度优化、边界条件处理、代码结构与可读性、测试用例设计以及代码复用性等重要的编程和算法概念。这些知识不仅有助于解决类似的最大矩形面积问题，还能提升我的整体编程能力。