小 K 的区间与值和 | 豆包MarsCode AI刷题

小K的区间与值和

问题描述

小K有一个数组，她定义数组的权值为数组中任选两个数的按位与的值之和。具体来说，对于数组中的每个连续子数组，我们可以计算所有可能的两个元素的按位与值之和，并将这些值相加。小K想知道该数组中所有可能的连续子数组的权值和是多少，最后结果对$10^9+7$取模。

测试样例

样例1: 输入:n=4，a=[2，3，1，2] 输出:16

样例2: 输入:n=3，a=[5，6，7] 输出:25

样例3: 输入:n=2，a=[1，10] 输出:0

样例4: 输入:n=5，a=[1，2，4，8，16] 输出:0

题目分析

一、暴力做法 $O(n^4)$

我们可以枚举所有存在的子数组，然后对于每一个子数组，都去选择两个数，相与并将答案计入。

const long long mod = 1e9+7;

int solution(int n, vector<int> a) {
    vector<long long> res(n+3,0);
    long long ans = 0;
    for(int i=0;i<n;i++) {
        for(int j=0;j<i;j++) {
            for(int r=j;r<=i;r++) {
                for(int l=j;l<r;l++) {
                    ans = (ans + (a[l] & a[r])) % mod;
                }
            }
        }
    }
    return ans;
}

这虽然也能过，但我们还是要去追求更快更好的解决方法

二、枚举每一对数字相与的贡献 $O(n^2)$

对于一对数字 a[i] 和 a[j]（其中 i < j），我们去计算共有多少个子数组包含这对数字，可以发现包含这两个数的子数组的数量等于(i+1) * (n-j)。

const long long mod = 1e9+7;

int solution(int n, vector<int> a) {
    vector<long long> res(n+3,0);
    long long ans = 0;
    for(int i=0;i<n;i++) {
        for(int j=0;j<i;j++) {
            ans = (ans + (j+1) * (n-i) * (a[i] & a[j])) % mod;
        }
    }
    return ans;
}

但还是不够快，我们还能更进一步！

三、计算每一个二进制位的贡献 $O(nlogV)$

题目中有一个很重要的信息我们并没有使用到：两个元素的按位与值之和

对于位运算题目，我们完全可以独立考虑每一个二进制位对答案的影响，不同位之间并无关系。这样我们就将问题转化为了01序列中所有子序列里的1的贡献。

我们从左往右扫描，计算第i个1作为区间右端点时的贡献，也就是把前面所有1出现的位置再+1的和。

const ll mod = 1e9+7;

int solution(int n, vector<int> a) {
    vector<ll> res(n+3,0);
    ll ans = 0;
    for(int base=0;base<=30;base++) {
        ll t = 1ll << base;
        ll cnt = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            res[i] = a[i-1] >> base & 1;
            if(res[i] == 1) {
                ans = (ans + cnt * (n-i+1) % mod * t) % mod;
                cnt += i;
            }
        }
    }
    return ans;
}

得到了一个$O(nlogV)$的算法，这里的V是指数组a值域上限。