最大乘积区间问题 | 豆包MarsCode AI刷题

题目： 小R手上有一个长度为n的数组(n>0)，数组中的元素分别来自集合[0，1，2，4，8，16，32，64，128，256512，1024]。小R想从这个数组中选取一段连续的区间，得到可能的最大乘积。 你需要帮助小R找到最大乘积的区间，并输出这个区间的起始位置x和结束位置y(x≤ y)。如果存在多个区间乘积相同的情况，优先选择x更小的区间;如果x相同，选择y更小的区间。 注意:数组的起始位置为 1，结束位置为 n。

要解决这个问题，我们需要在给定的数组中找到一个连续子区间，其乘积最大。给定的元素来自特定的集合，这些元素是2的幂次方（包括0），因此乘积的变化会比较剧烈。我们需要高效地找出最大乘积子区间，并返回该区间的起始和结束位置。

解决思路

1. 动态规划的思想： 我们可以通过动态规划的方式计算当前子区间的乘积。每次遍历到数组中的一个元素时，我们可以计算包含该元素的子区间的乘积，并记录下当前最大乘积以及对应的区间。

2. 如何跟踪最大乘积：

   • 使用两个变量 max_product 和 min_product，分别跟踪当前的最大乘积和最小乘积。由于数组中可能有负数，最小乘积可能会成为最大乘积。
   • 维护一个变量 start_index 来记录当前最大乘积的区间的起始位置。

3. 步骤：

   • 对每个位置的元素，分别考虑它和之前的最大/最小乘积的组合，计算出新的最大/最小乘积。
   • 如果当前的乘积大于之前的最大乘积，就更新最大乘积和对应的区间。
   • 如果乘积相同，则根据题意选择更小的区间。

4. 考虑边界条件：

   • 数组的长度 n > 0。
   • 如果数组元素包含 0，会导致乘积为零，因此需要特别处理。

完整的代码实现

def solution(n: int, arr: list[int]) -> list[int]:
    # 初始的最大乘积和最小乘积，初始位置
    max_product = float('-inf')
    min_product = float('inf')
    
    # 最终的答案区间
    best_start = 0
    best_end = 0
    
    # 当前区间的起始索引
    start_index = 0
    
    # 用于当前乘积的变量
    current_max = 1
    current_min = 1
    
    for i in range(n):
        num = arr[i]
        
        # 处理0，0会使得乘积清空
        if num == 0:
            current_max = 1
            current_min = 1
            start_index = i + 1
            continue
        
        # 临时保存当前的最大和最小乘积
        temp_max = current_max
        temp_min = current_min
        
        # 计算新的最大最小乘积
        current_max = max(num, temp_max * num, temp_min * num)
        current_min = min(num, temp_max * num, temp_min * num)
        
        # 如果找到一个新的最大乘积，更新结果
        if current_max > max_product:
            max_product = current_max
            best_start = start_index + 1  # 1-based index
            best_end = i + 1  # 1-based index
        elif current_max == max_product:
            # 如果乘积相同，选择更小的区间
            if start_index + 1 < best_start or (start_index + 1 == best_start and i + 1 < best_end):
                best_start = start_index + 1
                best_end = i + 1
    
    return [best_start, best_end]


if __name__ == "__main__":
    # 测试用例
    print(solution(5, [1, 2, 4, 0, 8]))  # [1, 3]
    print(solution(7, [1, 2, 4, 8, 0, 256, 0]))  # [6, 6]

代码说明：

• 初始化变量：

  • max_product：用于记录到当前为止的最大乘积。
  • min_product：用于记录到当前为止的最小乘积。
  • best_start 和 best_end：记录最大乘积区间的起始和结束位置。
  • current_max 和 current_min：分别是当前考虑到的区间的最大和最小乘积。
  • start_index：记录当前考虑区间的起始位置。

• 遍历数组：

  • 对每个元素 arr[i]，我们首先考虑它与前面已经计算出的最大/最小乘积的组合，得到新的最大和最小乘积。
  • 如果 arr[i] == 0，乘积会重置为1，因此需要特别处理。

• 更新最大乘积：

  • 如果当前的 current_max 大于 max_product，则更新最大乘积，并记录该区间的起始和结束位置。
  • 如果当前乘积与已有最大乘积相同，优先选择更小的区间（首先比较起始位置，再比较结束位置）。

复杂度分析：

• 时间复杂度： 每次遍历数组一次，操作的时间复杂度是 O(n)，其中 n 是数组的长度。
• 空间复杂度： 使用常数空间 O(1)，除了输入数组外，额外的空间消耗较小。

测试

print(solution(5, [1, 2, 4, 0, 8]))  # [1, 3]
print(solution(7, [1, 2, 4, 8, 0, 256, 0]))  # [6, 6]
print(solution(5, [2, 2, 2, 2, 2]))  # [1, 5]

以上是对该题解题思路的思考。