最大矩形面积问题|豆包MarsCode AI刷题问题描述小S最近在分析一个数组 $sh_1,h_2,..., h_N$

问题描述

小S最近在分析一个数组 $sh_1,h_2,..., h_N$ ，数组的每个元素代表某种高度。小S对这些高度感兴趣的是，当我们选取任意 $k$ 个相邻元素时，如何计算它们所能形成的最大矩形面积。对于 $k$ 个相邻的元素，我们定义其矩形的最大面积为: $R(k) = k\times min(h[i], h[i + 1], ..., h[i + k - 1])$ 即， $R()$ 的值为这 $k$ 个相邻元素中的最小值乘以 $k$ 。现在，小S希望你能帮他找出对于任意 $k$ ， $R(K)$ 的最大值。

测试样例

样例1:

输入: n = 5，array = [1，2，3，4，5]输出: 9

样例2:

输入: n = 6，array = [5，4，3，2，1，6]输出: 9

样例3:

输入: n = 4，array = [4，4，4，4]输出: 16

思路：

单调栈：我们维护一个栈，栈中的元素是数组的索引，栈中的高度元素从栈底到栈顶是递增的。
遍历：遍历数组，对于每个元素，判断当前元素是否小于栈顶元素。如果小于，则弹出栈顶元素，计算以该元素为高度的矩形面积。如果大于或等于栈顶元素，则将当前元素的索引压入栈中。
结束处理：当遍历完成后，栈中可能还剩下一些元素，需要处理这些元素，计算出它们所能构成的最大矩形面积。

代码如下：

def solution(n, array):
stack = []
max_area = 0

for i in range(n):
    # 处理当前元素，保证栈中的元素是递增的
    while stack and array[stack[-1]] > array[i]:
        h = array[stack.pop()]  # 弹出栈顶元素，得到矩形的高度
        w = i if not stack else i - stack[-1] - 1  # 计算宽度
        max_area = max(max_area, h * w)  # 更新最大面积
    stack.append(i)  # 将当前元素的索引压入栈

# 处理栈中剩余的元素
while stack:
    h = array[stack.pop()]
    w = n if not stack else n - stack[-1] - 1
    max_area = max(max_area, h * w)

return max_area


if __name__ == "__main__":
# Add your test cases here

print(solution(5, [1, 2, 3, 4, 5]) == 9)

时间复杂度：

由于每个元素最多被压入栈一次，并且最多被弹出一次，时间复杂度是 (O(n))，相较于暴力法的 (O(n^2))，效率大大提高。

举例：

假设 array = [2, 1, 5, 6, 2, 3]，运行该算法的过程如下：

遇到 2，压栈；
遇到 1，弹出 2 计算面积，更新最大面积，压 1；
遇到 5，压栈；
遇到 6，压栈；
遇到 2，弹出 6、5 计算面积，更新最大面积，压 2；
遇到 3，压栈，最终处理栈中剩余元素，得到最大矩形面积。

这个优化方案是解决此问题的经典方法，非常高效。