青训营X豆包MarsCode 技术训练营第三篇——水果店果篮最小成本问题解析（题解与总结）｜豆包MarsCode AI 刷题

水果店果篮最小成本问题（动态规划）

一、题目解析

题目要求我们将一系列水果打包成多个果篮，每个果篮的最大容量为 m 个水果，并且果篮中的水果编号必须是连续的。目标是使得果篮的总成本最小。

果篮的成本由以下公式给出： [ k \times \left\lfloor \frac{u + v}{2} \right\rfloor + s ] 其中，k 为果篮中水果的数量，u 为果篮中水果的最大体积，v 为果篮中水果的最小体积，s 是常数，u 和 v 是果篮内水果体积的最大值和最小值， $\lfloor x \rfloor$ 表示对 x 进行下取整。

解题思路

为了求解最小总成本，我们可以使用动态规划（DP）的方式来逐步计算最优解。具体步骤如下：

定义 DP 数组：
使用 dp[i] 来表示将前 i 个水果打包成若干果篮的最小成本。
状态转移方程：
对于每个水果 i，我们尝试将其与前面的若干个水果一起打包成一个果篮。每个果篮最多包含 m 个水果，并且要求水果的编号是连续的。我们遍历每一个可能的 j（表示当前果篮的水果数量），计算出当前果篮的成本，并更新 dp[i]： [ dp[i] = \min(dp[i], dp[i - j] + \text{当前果篮的成本}) ]
计算当前果篮的成本：
对于每一个连续的水果子集，我们需要计算其最大体积和最小体积，并应用给定的成本公式。
初始化：
初始化 dp[0] = 0，表示没有水果时的成本为 0。

代码解析

以下是解决该问题的代码实现：

def solution(n: int, m: int, s: int, a: list) -> int:
    # 初始化 dp 数组，dp[i] 表示前 i 个水果的最小总成本
    dp = [float('inf')] * (n + 1)
    dp[0] = 0  # 前 0 个水果的成本为 0

    # 遍历每个水果
    for i in range(1, n + 1):
        # 尝试将当前水果与前面的若干个水果打包成一个果篮
        max_vol = a[i - 1]  # 当前果篮的最大体积
        min_vol = a[i - 1]  # 当前果篮的最小体积
        cost = 0  # 当前果篮的成本

        # 尝试将当前水果与前面的 j 个水果打包成一个果篮
        for j in range(1, m + 1):
            if i - j >= 0:
                # 更新当前果篮的最大和最小体积
                max_vol = max(max_vol, a[i - j])
                min_vol = min(min_vol, a[i - j])

                # 计算当前果篮的成本
                cost = j * ((max_vol + min_vol) // 2) + s

                # 更新 dp[i]
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - j] + cost)

    return dp[n]

代码解析：

dp 数组：表示前 i 个水果的最小总成本。dp[0] = 0 表示没有水果时的成本为 0。
外层 for 循环：遍历每个水果，从 i = 1 到 n。
内层 for 循环：尝试将当前水果与前面的 j 个水果一起打包成一个果篮（每个果篮最多 m 个水果）。
每次更新 dp[i] 时，计算当前果篮的最大体积和最小体积，并使用公式计算成本。

二、知识总结

1. 动态规划的核心思想：
在许多最优化问题中，动态规划提供了一种有效的求解方法。通过将大问题分解为小问题来避免重复计算，从而提高效率。特别是在打包问题中，DP 能够有效地减少计算量。

2. 状态转移：
在本问题中，我们通过定义 dp[i] 来表示前 i 个水果的最小成本，依赖于前面已经计算出的最优解来构造当前的最优解。

3. 滚动数组优化：
如果问题中没有其他约束（如最大容量限制），可以考虑使用滚动数组来优化空间复杂度，将 dp 数组的空间复杂度从 O(n) 降低到 O(m)。

三、学习计划

1. 制定刷题计划：
每周安排一定的时间来刷题。对于每道题目，先尝试自己解决，如果遇到困难，再查阅资料或讨论。最终将自己理解的知识整理成笔记，总结常见的解题方法和技巧。

2. 针对性练习：
通过回顾错题集，重点分析自己的薄弱环节。对于复杂的动态规划题目，需要理解状态转移的本质并进行大量练习。

3. 提升问题分析能力：
在遇到新问题时，先思考如何将问题分解成小问题，利用已有的知识解决。通过大量的练习逐步提升自己的问题分析和归纳能力。

四、工具运用

1. 刷题平台与 AI 辅助：
通过使用 AI 辅助学习，可以更快速地理解问题的核心，获得思路启发。结合平台上的讨论和解法，可以帮助自己更好地掌握解题技巧。对于每道题目的学习，可以借助 AI 提供的详细解答和优化方案，提高自己分析和总结的能力。

2. 结合书籍和资料：
刷题是积累知识的过程，但为了深入理解某些算法，结合经典书籍如《算法导论》、《动态规划》以及在线课程可以进一步提高自己的技术水平。

五、学习建议

对于入门的同学，建议从简单的动态规划问题开始，逐步增加难度。每解决一道题目时，务必理解其背后的思想和方法，而不仅仅是停留在表面。动手实现算法时，特别是在动态规划中，要学会在脑海中理清状态转移的过程，理解如何构建状态空间。

同时，多做错题总结，培养解决问题时的思维模式。通过不断的练习，逐步提高解题能力和算法思维。

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