问题描述
小S正在研究坐标系中的几何图形，特别是菱形。现在给定一个X轴和Y轴的范围，他希望统计在坐标系内满足以下三个条件的菱形的总数：
- 菱形具有正面积。
- 菱形的每个顶点的横坐标xixi和纵坐标yiyi都是整数，且满足0≤xi≤X0≤xi≤X 和 0≤yi≤Y0≤yi≤Y。
- 菱形的对角线平行于坐标轴。
你需要帮助小S计算出满足这些条件的菱形的总数。
测试样例
样例1：
输入：
x = 2 ,y = 2
输出：1
样例2：
输入：
x = 3 ,y = 3
输出：4
样例3：
输入：
x = 4 ,y = 2
输出：4
在这个问题中，我们需要在给定的坐标范围内找到满足一定条件的菱形的数量。题目给出了一些约束条件，具体要求是菱形的对角线必须平行于坐标轴，且顶点的坐标是整数。
分析
-
菱形的构造：
- 一个菱形的四个顶点可以被看作中心点在 (cx,cy)(cx, cy)(cx,cy) ，然后根据对角线长度决定顶点位置。对于菱形来说，菱形的两个对角线相互垂直并且平行于坐标轴。
-
对角线平行于坐标轴：
- 如果我们定义菱形的中心点为 (cx,cy)(cx, cy)(cx,cy)，那么可以让一个对角线的端点分别位于 (cx+dx,cy)(cx + dx, cy)(cx+dx,cy) 和 (cx−dx,cy)(cx - dx, cy)(cx−dx,cy)，另一个对角线的端点在 (cx,cy+dy)(cx, cy + dy)(cx,cy+dy) 和 (cx,cy−dy)(cx, cy - dy)(cx,cy−dy)。
- 这里，dxdxdx 和 dydydy 是整数，表示对角线的“半长”。那么，一个菱形可以通过参数 dxdxdx 和 dydydy 的不同组合来构建。
-
条件检查：
-
为了确保菱形的顶点都在给定的坐标范围内，我们需要满足：
- 0≤cx−dx0 \leq cx - dx0≤cx−dx 且 cx+dx≤Xcx + dx \leq Xcx+dx≤X
- 0≤cy−dy0 \leq cy - dy0≤cy−dy 且 cy+dy≤Ycy + dy \leq Ycy+dy≤Y
-
这些条件确保了菱形的顶点都在范围内。
-
-
菱形具有正面积：
- 要保证菱形的面积为正，需要 dx>0dx > 0dx>0 和 dy>0dy > 0dy>0。
算法步骤
- 遍历所有可能的中心点 (cx,cy)(cx, cy)(cx,cy)。
- 对每个中心点，枚举可能的 dxdxdx 和 dydydy。
- 对于每一组 (cx,cy,dx,dy)(cx, cy, dx, dy)(cx,cy,dx,dy)，检查是否满足条件。
- 统计符合条件的菱形数量。
代码实现
python
def solution(X, Y): count = 0
# 遍历所有中心点
for cx in range(X + 1):
for cy in range(Y + 1):
# 枚举 dx 和 dy
dx = 1
while cx - dx >= 0 and cx + dx <= X:
dy = 1
while cy - dy >= 0 and cy + dy <= Y:
count += 1
dy += 1
dx += 1
return count
测试样例
print(solution(2, 2)) # 输出：1 print(solution(3, 3)) # 输出：4 print(solution(4, 2)) # 输出：4
解释
- 外层循环：遍历所有可能的中心点 (cx,cy)(cx, cy)(cx,cy)。
- 内层循环：对于每个中心点，尝试不同的 dxdxdx 和 dydydy 值，检查是否满足边界条件。
- 条件检查：每找到一个符合条件的组合，计数加一。
- 返回结果：最终返回符合条件的菱形总数。
时间复杂度
- 时间复杂度：O(X×Y×X2×Y2)O(X \times Y \times \frac{X}{2} \times \frac{Y}{2})O(X×Y×2X×2Y)，其中每个点的可能组合受到 XXX 和 YYY 的限制，实际复杂度会低于最大值。
测试样例结果
- 输入
X = 2, Y = 2，输出1。 - 输入
X = 3, Y = 3，输出4。 - 输入
X = 4, Y = 2，输出4。
该问题要求统计坐标系中满足条件的菱形数量，其中菱形的四个顶点坐标是整数，对角线平行于坐标轴。为了实现这一点，首先设定菱形的中心点 (cx,cy)(cx, cy)(cx,cy)，然后定义两个对角线的半长度 dxdxdx 和 dydydy，分别控制水平和垂直方向上的扩展。为确保菱形顶点在范围内，需要满足：0≤cx−dx0 \leq cx - dx0≤cx−dx，cx+dx≤Xcx + dx \leq Xcx+dx≤X，0≤cy−dy0 \leq cy - dy0≤cy−dy，cy+dy≤Ycy + dy \leq Ycy+dy≤Y。通过遍历每个中心点以及所有可能的 dxdxdx、dydydy 组合，验证是否符合范围条件并计数。算法复杂度为 O(X×Y×X2×Y2)O(X \times Y \times \frac{X}{2} \times \frac{Y}{2})O(X×Y×2X×2Y)，通过逐点枚举中心和对角线长度，统计符合条件的菱形数量，确保所有有效菱形被计入。
