最优硬币组合问题分析
问题描述
最优硬币组合问题是一个经典的动态规划问题，旨在找到一种用最少硬币数目凑成目标金额的方案。给定一种硬币面值的集合和目标金额，我们需要找出一种硬币组合，使得硬币的总数量最少，并且能够完全拼凑出目标金额。
1. 问题分析
小C有多种不同面值的硬币，每种硬币的数量是无限的。目标是使用最少的硬币数量凑出一个给定的金额。
关键点：
- 硬币的面值和数量无限制。
- 目标是找到一个硬币组合，使得总金额为N，并且硬币的数量尽可能少。
举例： 假设硬币面值为 [1, 2, 5]，目标金额为 18，最优的组合应为 [5, 5, 5, 2, 1]，即使用三个 5 面值的硬币，一个 2 面值的硬币和一个 1 面值的硬币，总共5个硬币。
2. 动态规划的思路
动态规划（Dynamic Programming, DP）是解决最优硬币组合问题的有效方法。具体步骤如下：
2.1 状态定义
我们定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示组成金额 i 所需的最小硬币数。我们的目标是计算出 dp[amount]，即组成目标金额 amount 所需的最小硬币数。
2.2 状态转移
-
初始化：
dp[0] = 0，因为要组成金额 0 不需要任何硬币。 -
对于每个金额
i（从 1 到amount），我们尝试用不同的硬币面值来更新dp[i]。对于每个硬币coin，如果i - coin >= 0，那么我们可以通过dp[i - coin] + 1来更新dp[i]。具体来说：dp[i]=min(dp[i],dp[i−coin]+1)dp[i]=min(dp[i],dp[i−coin]+1)
这个转移表示，如果我们已经知道如何用最少的硬币组成金额
i - coin，那么只需要再加上一个coin面值的硬币，就能组成金额i。
2.3 结果回溯
为了得到最优的硬币组合，我们还需要保存选择的硬币面值。在每次更新 dp[i] 时，我们可以记录下导致最小硬币数的硬币面值。最终，我们可以通过回溯 dp 数组，得到组成目标金额的硬币组合。
3. 实现步骤
3.1 动态规划求最少硬币数
pythonCopy Code
def coinChange(coins, amount):
# 初始化 dp 数组，dp[i] 表示组成金额 i 的最少硬币数
dp = [float('inf')] * (amount + 1)
dp[0] = 0 # 组成 0 的最小硬币数为 0
# 动态规划填充 dp 数组
for i in range(1, amount + 1):
for coin in coins:
if i - coin >= 0:
dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)
return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1
3.2 回溯得到最优硬币组合
pythonCopy Code
def coinChangeCombination(coins, amount):
dp = [float('inf')] * (amount + 1)
dp[0] = 0
last_coin = [-1] * (amount + 1) # 用来存储选择的硬币面值
for i in range(1, amount + 1):
for coin in coins:
if i - coin >= 0 and dp[i] > dp[i - coin] + 1:
dp[i] = dp[i - coin] + 1
last_coin[i] = coin
# 如果无法凑出金额，则返回空列表
if dp[amount] == float('inf'):
return []
# 回溯得到硬币组合
result = []
while amount > 0:
result.append(last_coin[amount])
amount -= last_coin[amount]
return result
4. 时间复杂度分析
- 动态规划部分：我们需要填充一个大小为
amount + 1的数组，每个元素需要遍历所有的硬币面值。假设硬币数量为m，则时间复杂度为 O(m×amount)O(m×amount)。 - 回溯部分：回溯过程中，我们最多需要访问
amount次，因此时间复杂度为 O(amount)O(amount)。
综上所述，整体时间复杂度为 O(m×amount)O(m×amount)，空间复杂度为 O(amount)O(amount)。
5. 例子
示例 1
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 18
动态规划计算后的 dp 数组结果为：
Copy Code
dp[18] = 5 (表示最少需要 5 个硬币组成 18)
回溯得到的最优组合为：
Copy Code
[5, 5, 5, 2, 1]
示例 2
输入：coins = [1, 3, 4], amount = 6
动态规划计算后的 dp 数组结果为：
Copy Code
dp[6] = 2
回溯得到的最优组合为：
Copy Code
[3, 3]
示例 3
输入：coins = [5], amount = 10
动态规划计算后的 dp 数组结果为：
Copy Code
dp[10] = 2
回溯得到的最优组合为：
Copy Code
[5, 5]
6. 总结
最优硬币组合问题是一类典型的动态规划问题，目标是通过最少的硬币组合凑出指定金额。通过合理的动态规划设计，我们不仅可以得到最少硬币数，还可以通过回溯的方法得到具体的硬币组合。这个问题在实际应用中非常常见，比如在货币兑换、支付系统等场景中，解决类似问题可以帮助设计更加高效的支付策略。
