数组元素之和最小化 | 豆包MarsCode AI 刷题问题描述回顾我们需要构造一个包含 n 个元素的数组，这些元素

问题描述回顾

我们需要构造一个包含 n 个元素的数组，这些元素需要满足以下条件：

数组中的所有元素两两不同。
数组所有元素的最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）为 k。
数组元素之和尽可能小。

解决思路

为了使数组的元素之和最小，我们应该选择最小的 n 个数，这些数都必须能被 k 整除。最直接的选择是从 k 开始，每次递增 k 的倍数，直到选择了 n 个数为止。也就是说，选择的数列为： $k \times 1, k \times 2, k \times 3, \ldots, k \times n$ 。

数学推导

设所求的数组元素之和为 (S)，则有：

$S = k \times 1 + k \times 2 + k \times 3 + \ldots + k \times n$

提取公因数 (k)：

$S = k(1 + 2 + 3 + \ldots + n)$

接下来，我们需要计算括号内的部分 (1 + 2 + 3 + \ldots + n)。这是一个等差数列的求和问题。等差数列求和公式为：

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

其中：

$S_n$ 是前 n 项的和。
$a_1$ 是首项。
$a_n$ 是第 n 项。
$n$ 是项数。

在我们的例子中，首项 $a_1 = 1$ ，末项 $a_n = n$ ，项数 $n$ 也是 n。将这些值代入等差数列求和公式：

$S_n = \frac{n(1 + n)}{2}$

因此，原问题中的 (S) 可以写成：

$S = k \times \frac{n(n+1)}{2}$

为什么选择 k×ik×i 形式的数？

选择 $k_i \times k_i$ 形式的数有几个原因：

保证最大公约数为 k：每个数 $k_i \times k_i$ 都能被 k 整除，因此这些数的最大公约数必然是 k。
确保元素不同：由于 i 从 1 到 n 依次取值，每个 $k_i \times k_i$ 都是不同的，从而保证了数组中的所有元素两两不同。
最小化元素之和：选择最小的 n 个 $k_i \times k_i$ 形式的数可以确保数组元素之和最小。因为随着 i 的增加， $k_i \times k_i$ 也在增加，所以我们从小到大选择前 n 个这样的数可以保证和最小。

Python 实现

根据上面的推导，我们可以很容易地用 Python 编写一个函数来计算 (S)：

def solution(n: int, k: int) -> int:
    return k * (n * (n + 1)) // 2

if __name__ == '__main__':
    print(solution(n = 3, k = 1) == 6)
    print(solution(n = 2, k = 2) == 6)
    print(solution(n = 4, k = 3) == 30)

代码解释

函数定义：
- min_sum_of_array(n, k)：定义了一个函数，接受两个参数 n 和 k，分别代表数组的长度和数组中所有元素的最大公约数。
计算数组元素之和：
- S = k * (n * (n + 1)) // 2：根据前面推导的公式，计算数组元素之和。这里使用了整数除法 // 来确保结果是一个整数，因为题目中提到的所有输入都是整数，所以最终的结果也应该是一个整数。
返回结果：
- return S：返回计算得到的数组元素之和的最小值。

测试样例解释

样例1：n = 3, k = 1
- 数组元素为：1, 2, 3
- 元素之和：$1 + 2 + 3 = 6#
- 按照公式计算：(S = 1 \times \frac{3(3+1)}{2} = 1 \times \frac{12}{2} = 6)
样例2：n = 2, k = 2
- 数组元素为：2, 4
- 元素之和： $2 + 4 = 6$
- 按照公式计算： $S = 2 \times \frac{2(2+1)}{2} = 2 \times \frac{6}{2} = 6$
样例3：n = 4, k = 3
- 数组元素为：3, 6, 9, 12
- 元素之和： $3 + 6 + 9 + 12 = 30$
- 按照公式计算： $S = 3 \times \frac{4(4+1)}{2} = 3 \times \frac{20}{2} = 30$

通过上述详细解释和代码实现，我们可以高效地计算出满足条件的数组元素之和的最小值，而无需实际生成和处理整个数组。