和的逆运算问题 ｜ 豆包MarsCode AI 刷题

和的逆运算问题

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问题描述

n 个整数两两相加可以得到 n(n - 1) / 2 个和。我们的目标是：根据这些和找出原来的 n 个整数。

按非降序排序返回这 n 个数，如果无解，输出 "Impossible"。

测试样例

样例1：

输入：n = 3, sums = [1269, 1160, 1663]
输出："383 777 886"

样例2：

输入：n = 3, sums = [1, 1, 1]
输出："Impossible"

样例3：

输入：n = 5, sums = [226, 223, 225, 224, 227, 229, 228, 226, 225, 227]
输出："111 112 113 114 115"

题解思路

我们先对这n(n - 1) / 2 个和进行排序，不妨假设排序后的结果为：$sum[1] \le sum[2] \le ... \le sum[\frac{n(n-1)}{2}]$。

假设原来的n个数从小到大排序为：$a[1] \le a[2] \le ... \le a[n]$。我们按照如下方式对其两两之和进行排列：

可以发现，每一行，从左到右，和依次递增，每一列，从上到下，和依次递增。于是可以推断出$a[1]+a[2]=sum[1]$，进一步可以推断出$a[1]+a[3]=sum[2]$。

但是，不一定有$a[2]+a[3]=sum[3]$。这是因为$a[2]+a[3]$与$a[1]+a[4], \ ... \ ,a[1]+a[n]$之间的大小关系是不确定的。所以，我们需要对$a[2]+a[3]$的取值进行讨论，它可能是在数组sum中第3 ~ n小的那个。

假设$a[2]+a[3]=sum[k],3 \le k \le n$，根据$a[1]+a[2]=sum[1],a[1]+a[3]=sum[2]$，我们可以求出$a[1],a[2],a[3]$的取值。

进而对于$a[4]$，我们先将$a[1]+a[2], a[1]+a[3], a[2]+a[3]$删除，于是可以发现$a[1]+a[4]$变成最小值了。于是根据$a[1]$，可以求出$a[4]$。

同理，将$a[1]+a[4],a[2]+a[4],a[3]+a[4]$删除。于是$a[1]+a[5]$变成最小值了，就可以求出$a[5]$。以此类推，可以求出原来的每个数$a[i],1 \le i \le n$。

注意：每个$a[i]$均为整数，且要满足$a[1] \le a[2] \le ... \le a[n]$，以及$a[i]+a[j],0 \le i \le j-1$均在数组$sum$中。

渐进时间复杂度为：$O(n^3)$。

这里模拟下$n=5$的情况，遍历$a[2]+a[3]=sum[k],3 \le k \le 5$所有可能的取值，进而求出$a[1],a[2],a[3]$。将$a[1]+a[2], a[1]+a[3], a[2]+a[3]$删除。

此时$a[1]+a[4]$最小，进而求出$a[4]$。将$a[1]+a[4], a[2]+a[4], a[3]+a[4]$删除。

此时$a[1]+a[5]$最小，进而求出$a[5]$。将$a[1]+a[5], a[2]+a[5], a[3]+a[5], a[4]+a[5]$删除。此时，便可以求出$a[1],a[2],a[3],a[4],a[5]$。

C++代码

#include <functional>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include<set>

std::string solution1(int n, std::vector<int>& nums, std::multiset<int> sums) {
    sums.erase(sums.find(nums[0] + nums[1]));
    sums.erase(sums.find(nums[0] + nums[2]));
    sums.erase(sums.find(nums[1] + nums[2]));
    for (int k = 3; k < n; k++) {
        nums[k] = *sums.begin() - nums[0];
        if (nums[k] < nums[k - 1]) return "Impossible";
        for (int l = 0; l < k; l++) {
            if (!sums.count(nums[l] + nums[k])) return "Impossible";
            sums.erase(sums.find(nums[l] + nums[k]));
        }
    }
    std::string result;
    for (int k = 0; k < n; k++) {
        result += std::to_string(nums[k]) + " ";
    }
    return result.substr(0, result.length() - 1);
}

std::string solution(int n, std::vector<int> sums) {
    // Please write your code here
    std::multiset<int> order_sums(sums.begin(), sums.end());
    std::vector<int> nums(n, 0);
    std::multiset<int>::iterator first = order_sums.begin();
    std::multiset<int>::iterator second = ++order_sums.begin();
    std::multiset<int>::iterator third = ++(++order_sums.begin());
    for (int k = 0; k < n - 2; k++) {
        if (!((*first + *second + *third) % 2)) {
            nums[0] = (*first + *second + *third) / 2 - *third;
            nums[1] = (*first + *second + *third) / 2 - *second;
            nums[2] = (*first + *second + *third) / 2 - *first;
            std::string result = solution1(n, nums, order_sums);
            if (result != "Impossible") return result;
        }
        third++;
    }
    return "Impossible";
}

int main() {
    // You can add more test cases here
    std::vector<int> sums = { 1269, 1160, 1663 };
    std::cout << (solution(3, sums) == "383 777 886") << std::endl;
    return 0;
}